Question

如图所示，A、B是两块竖直放置的平行金属板，相距为2L，分别带有等量的负、正电荷，在两板间形成电场强度大小为E的匀强电场。A板上有一小孔（它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计），孔的下沿右侧有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道，一个质量为，电荷量为的小球（可视为质点），在外力作用下静止在轨道的中点P处。孔的下沿左侧也有一与板垂直的水平光滑绝缘轨道，轨道上距A板L处有一固定档板，长为L的轻弹簧左端固定在挡板上，右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q。撤去外力释放带电小粒，它将在电场力作用下由静止开始向左运动，穿过小孔后（不与金属板A接触）与薄板Q一起压缩弹簧，由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能。小球从接触 Q开始，经历时间T₀第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回。由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺，使得小球每次离开Q瞬间，小球的电荷量都损失一部分，而变成刚与Q接触时小球电荷量的。求：
（1）小球第一次接触Q时的速度大小；
（2）假设小球第次弹回两板间后向右运动的最远处没有到达B板，试导出小球从第次接触 Q，到本次向右运动至最远处的时间T_n的表达式；
（3）若，且小孔右侧的轨道粗糙与带电小球间的滑动摩擦力为，试求带电小球最终停止的位置距P点的距离。

Answer 1

（1）设小球第一次接触Q的速度为v，接触Q前的加速度为a。
根据牛顿第二定律有 qE="ma                                  " （1分）
对于小球从静止到与Q接触前的过程，根据运动学公式有v²="2al   " （2分）
联立解得v=                         （2分）
（2）小球每次离开Q的速度大小相同，等于小球第一次与Q接触时速度大小
v=                       （2分）
设小球第n次离开Q向右做减速运动的加速度为a_n，速度由v减为零
所需时间为t_n，小球离开Q所带电荷量为q_n，则
q_nE=ma_n                                              （1分）
                                （1分）
                              （1分）
联立解得                            （1分）
小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间
                                        （2分）
（3）假设小球第1次弹回两板间后向右运动最远距A板距离为L₁，则
      即             （2分）
假设小球第2次弹回两板间后向右运动最远距A板距离为L₂，则
   即        （3分）
又因此时电场力，即带电小球可保持静止  （1分）
带电小球最终停止的位置距P点的距离为
                        （1分）

略