Question

如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距l=0.4 m，导轨平面与水平面成θ=30°角，下端通过导线连接阻值R=0.5Ω的电阻．金属棒ab阻值r=0.3Ω，质量m=0.2kg，放在两导轨上，与导轨垂直并保持良好接触．其余部分电阻不计，整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中．取g=10 m/s²．

（1）若磁场是均匀增大的匀强磁场，在开始计时即t=0时刻磁感应强度B₀=2.0T，为保持金属棒静止，作用在金属棒上平行斜面向上的外力F随时间t变化的规律如图乙所示，求磁感应强度B随时间t变化的关系．
（2）若磁场是磁感应强度大小恒为B₁的匀强磁场，通过额定功率P=10W的小电动机对金属棒施加平行斜面向上的牵引力，使其从静止开始沿导轨做匀加速度直线运动，经过

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s电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变，金属棒运动的v-t图象如图丙所示．试求磁感应强度B₁的大小和小电动机刚达到额定功率时金属棒的速度v₁的大小？

Answer 1

分析：（1）由磁场的变化均匀，可知产生的感应电流是恒定的，则金属棒受到的安培力恒定，又金属棒静止，由受力平衡可得磁感应强度与时间关系．
（2）金属棒达到最大速度时，合力为零，由额定功率可以求得此时的牵引力，由感应电动势可以求得感应电流，进而得到安培力，带入平衡方程可得B₁，同理可以求得小电动机刚达到额定功率时金属棒的速度v₁的大小．

解答：解：
（1）由于磁场均匀增大，所以金属棒中的电流I大小保持不变，安培力F_安方向沿斜面向下，设任意时刻t磁感应强度为B，金属棒静止，合外力为零，则：
F=mgsinθ+BIl
由图乙可知在任意时刻t外力为：F=（2+t） N
在t=0时刻有：F₀=mgsinθ+B₀Il
F₀=2 N
B=（2+2t） T
（2）由图丙可知，金属棒运动的最大速度v_m=5 m/s，此时金属棒所受合力为零，设金属棒此时所受拉力大小为F_m，流过棒中的电流为I_m，则：
P=F_mv_m
由受力平衡：F_m-mgsinθ-B₁I_ml=0
E_m=B₁lv_m
又：Im=

Em

R+r

即：

P

vm

-mgsinθ-

B12l2vm

R+r

=0
解得：B₁=1T
小电动机刚达到额定功率时，设金属棒所受拉力大小为F₁，加速度大小为a，运动的速度大小为v₁，流过金属棒的电流为I₁，则有：
P=F₁v₁
v₁=at
根据牛顿第二定律得：
F₁-mgsinθ-B₁I₁l=ma
又：E₁=B₁lv₁
I1=

E1

R+r

即：

P

v1

-mgsinθ-

B12l2v1

R+r

=

mv1

t

解得v₁=4m/s
答：（1）磁感应强度B随时间t变化的关系B=（2+2t） T．
（2）磁感应强度B₁的大小为1T，小电动机刚达到额定功率时金属棒的速度v₁为4m/s

点评：本题重点是对给定的图象的识别，要能从图象中识别出来力的变化，物体运动的变化，整体思路比较顺．