Question

质量为1.0×10³kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2000N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×10⁴W，开始时以a=1m/s²的加速度做匀加速运动（g=10m/s²）．求：
（1）汽车做匀加速运动的时间t₁；
（2）汽车所能达到的最大速率；
（3）若斜坡长143.5m，且认为汽车达到坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多少时间？

Answer 1

（1）设汽车的牵引力为F，汽车在斜坡上受重力、支持力、摩擦力、牵引力．
根据牛顿第二定律有：F-mgsin30°-f=ma；
设匀加速的末速度为v，根据P=Fv，知道汽车的速度增加，发动机的功率也在增大，当汽车功率增加到额定输出功率时，速度继续增加，牵引力就要减小，此时匀加速运动结束．
则有：P_额=Fv；
根据匀加速运动公式有：v=at₁
代入数值，联立解得：匀加速的时间为：t₁=7s．
（2）当达到最大速度v_m时，汽车做匀速直线运动，此时F=mgsin30°+f
所以有：P_额=（mgsin30°+f）v_m
解得：汽车的最大速度为：v_m=8m/s
（3）汽车匀加速运动的位移为：x₁=

1

2

at₁²=24.5m
在汽车达到额定功率时到汽车到达坡顶这后一阶段中，
牵引力对汽车做正功，重力和阻力做负功，设这后一阶段中时间为t₂，位移为x₂，根据动能定理有：
Pt₂-（mgsin30°+f）x₂=

1

2

mv_m²-

1

2

mv²
又有x₂=x-x₁
代入数值，联立求解得：t₂=15s
所以汽车总的运动时间为：t=t₁+t₂=22s
答：（1）汽车做匀加速运动的时间是7s；
（2）汽车所能达到的最大速率是8m/s；
（3）汽车从坡底到坡顶需22s．