Question

如图所示，两平行金属板水平放置，板间存在竖直向下的勻强电场．一带电粒子以初速度V₀沿上板边缘垂直于电场线射入匀强电场，它刚好贴着下板边缘飞出．已知匀强电场两极板长L，间距为d，（粒子的重力忽略不计）求：
（1）如果带电粒子的初速度变为2V₀，则离开电场时，沿场强方向的侧向位移y为多少？
（2）如果带电粒子的初速度变为2V₀，粒子离开电场后继续运动，当它的竖直位移仍为d时，它的水平位移x为多少？
（3）如果带电粒子的初速度变为2V₀，粒子离开电场时动能与带电粒子以初速度V₀射入匀强电场后离开电场时动能之比？

Answer 1

分析：（1）带电粒子垂直于电场线射入匀强电场，只受电场力作用，做类平抛运动．根据运动学公式分别列出水平位移和竖直位移表达式，运用比例法，求出初速度变为2V₀，粒子离开电场时，沿场强方向的侧向位移y．
（2）粒子离开电场后速度反向延长线交上板的中点，根据三角知识求出速度偏向角与位移、板长的关系，再求出水平位移x．
（3）根据动能定理分别两种情况下粒子离开电场时的动能，再结合初动能与板间电压的关系，求解粒子离开电场时动能之比．

解答：解：
（1）带电粒子的初速度为v₀时，
     水平方向：L=v₀t₁
     竖直方向：d=

1

2

a

t

2 1

联立得到，d=

1

2

a(

L

v0

)2
带电粒子的初速度变为2V₀时，
    水平方向：L=2v₀t₂
    竖直方向：y=

1

2

a

t

2 2

联立得到，y=

1

2

a(

L

2v0

)2=

1

4

d
（2）带电粒子的初速度变为2v₀，粒子离开电场时速度的偏向角为φ．根据推论可知，粒子离开电场时速度的反向延长线交于上板的中点．则根据几何知识有
   tanφ=

d 4

L 2

=

d

2L

，又tanφ=

d

LAB

  
 解得 L_AB=2L
所以x=0.5L+L_AB=2.5L
（3）根据动能定理得，

v0入射时：qu=Ek1- 1 2 m v 2 0 2v0入射时：q u 4 =Ek2- 1 2 m(2v0)2

由第（1）问d=

1

2

a(

L

v0

)2，a=

qu

md

得

刚好贴着下板边缘飞出有： d= quL2 2m v 2 0 d

联立解得：

Ek2

Ek1

=

d2+4L2

4d2+L2

答：
（1）带电粒子的初速度变为2V₀，离开电场时，沿场强方向的侧向位移y为

1

4

d．
（2）带电粒子的初速度变为2V₀，粒子离开电场后继续运动，当它的竖直位移仍为d时，它的水平位移x为2.5L．
（3）如果带电粒子的初速度变为2V₀，粒子离开电场时动能与带电粒子以初速度V₀射入匀强电场后离开电场时动能之比

Ek2

Ek1

=

d2+4L2

4d2+L2

．

点评：本题是类平抛运动问题，应用了力学中牛顿第二定律、运动学公式、动能定理等多个规律．对于第（2）问也可以根据三角形相似法求出水平位移．