Question

如图所示，质量为3m的竖直光滑圆环A的半径为R，固定在质量为2m的木板B上，木板B的左右两侧各有一竖直挡板固定在地面上，B不能左右运动．在环的最低点静止放有一质量为m的小球C．现给小球一水平向右的瞬时速度v₀，小球会在圆环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，初速度v₀必须满足（　　）

• A、最小值为

  4gR

• B、最大值为3

  gR

• C、最小值为

  5gR

• D、最大值为

  10gR

Answer 1

分析：小球在环内侧做圆周运动，通过最高点速度最小时，轨道对球的最小弹力为零，根据牛顿第二定律求出小球在最高点的最小速度；为了不会使环在竖直方向上跳起，小球在最高点对轨道的弹力不能大于2mg，根据牛顿第二定律求出最高点的最大速度，再根据机械能守恒定律求出小球在最低点的速度范围．

解答：解：在最高点，速度最小时有：mg=m

v12

R

解得：v₁=

gR

．
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设最低点的速度为v₁′，根据机械能守恒定律，有：
2mgR+

1

2

mv₁²=

1

2

mv₁′²
解得：v₁′=

5gR

．
要使不会使环在竖直方向上跳起，环对球的压力最大为：
F=2mg+3mg=5mg
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设此时最低点的速度为v₂′，
在最高点，速度最大时有：mg+5mg=m

v22

R

解得：v₂=

6gR

．
根据机械能守恒定律有：2mgR+

1

2

mv₂²=

1

2

mv₂′²
解得：v₂′=

10gR

．
所以保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，在最低点的速度范围为：

5gR

≤v≤

10gR

．故CD正确，AB错误．
故选：CD．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，关键理清在最高点的两个临界情况，求出在最高点的最大速度和最小速度．