Question

一只小船在静水中的速度为5m/s，河水流速为3 m/s，河宽为500 m，求下列各情况中，船头的指向与河岸的夹角和过河时间.

?（1）船要以最小位移过河；

?（2）船要以最短时间过河；

?（3）船要到达正对岸下游100m处；

?（4）若船在静水中的速度是m/s，则船要以最小位移过河，那么船头航向与河岸成的夹角θ和过河位移s分别是多少？

Answer 1

（1）53°,125s   (2)90°,100s?(3)74.4°,104 s?(4)46.8°,500m

解析:

小船过河同时参与划行运动和随水流运动，设船头航向与河岸成α角，如图甲所示，

?（1）要使船以最小位移过河，船应在B点靠岸.v_划cosα=v_水，cosα==，α=53°,d=v_划sinα·t，t===125s.(2)船要以最短时间过河，由t=得sinα=1时，t最小，则α=90°,且t_min=500/5s=100s.(3)船要在对岸下游100m靠岸，则（v_水-v_划cosα)t=100,v_划sinαt=500,即26cos²α+30cosα-10=0, cosα=7/26, sinα=25/26,则α=arccos-74.4°,t=104s.（4）若船的划行速度为v_水= m/s，比水流速度小，所以船不可能垂直河岸到达对岸，一定在对岸下游靠岸.要使船以最小位移过河，必须使如图乙所示中的α最大，根据正弦定理有,所以sinα=v_划sinβ/v_水，当sinβ=1，即β=90°时，α最大，这时过河位移最小为s_min,且sinθ=cosα=,所以θ=arcsin=46.8°,由正交分解有L=v_划tcosα,s_min=.