Question

在如图甲所示的空间里，存在垂直纸面向里即水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在竖直方向存在如图乙所示交替变化的电场（竖直向上为正），电场强度E₀大小为，空间中有一倾角为θ的足够长的光滑绝缘斜面，斜面上有一质量为m，带电荷量为-q的小球，从t=0时刻由静止开始沿斜面下滑，设第7s内小球不会离开斜面，重力加速度为g，求：
（1）第2s末小球速度υ²的大小；
（2）前8s内小球通过的路程L；
（3）若第19s末小球仍未离开斜面，θ角应满足的条件。

Answer 1

解：（1）第一秒内小球受到竖直向下的重力mg和电场力qE₀作用，在斜面上以加速度a做匀加速运动。
由牛顿第二定律得 (mg+qE₀)sinθ=ma
第一秒末小球的速度 υ₁=at₁=2gsinθ
第二秒内电场力反向，且满足qE₀=mg
第二秒内小球受到洛伦兹力作用将离开斜面以υ₁做半径为R₂的匀速圆周运动。
由向心力公式得
小球做匀速圆周运动周期
结合题图可知，小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，
在偶数秒内离开斜面恰好做完整的圆周运动，小球运动轨迹如图所示。

小球第2s末的速度υ₂=υ₁=at₂=2gsinθ
（2）第3s末小球速度υ₃=a(t₁+t₃)=4gsinθ
第5s末速度υ₅=a(t₁+t₃+t₅)=6gsinθ
第7s末速度υ₇=a(t₁+t₃+t₅+t₇)=8gsinθ
第2s内小球做圆周运动的半径
第4s内小球做圆周运动的半径
第6s内小球做圆周运动的半径
第8s内小球做圆周运动的半径
第1s内小球做匀加速直线运动的路程
第2s内小球做匀速圆周运动的路程s₂=2πR₂=2gsinθ
0～8s内小球做匀加速直线运动的总路程L₁=s₁+3s₁+5s₁+7s₁=16s₁=16gsinθ
0～8s内小球做匀速圆周运动的总路程L₂=s₂+s₄+s₆+s₈=s₂+2s₂+3s₂+4s₂=10s₂=20gsinθ
前8s内小球通过的路程L=L₁+L₂=36gsinθ 
（3）第19s末仍在斜面上，则有υ₁₉=a(t₁+t₃+t₅+t₇+t₉+t₁₁+t₁₃+t₁₅+t₁₇+t₁₉)=10a=20gsinθ
且19s末小球所受洛伦兹力Bqυ₁₉、重力mg和电场力qE₀作用，应满足 Bqυ₁₉≤(mg+qE₀)cosθ
解得。