Question

（2009?深圳一模）如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上固定一光滑金属导轨CDEFG，图中OH∥CD∥FG，∠DEF=60°，CD=DE=EF=FG=OE=L；一根质量为m、长度为2L的导体棒AB在电机牵引下，以恒定速度v₀沿OH方向从斜面底端滑上导轨并到达斜面顶端，O是AB棒的中点，AB⊥OH．金属导轨的CD、FG段电阻不计，DEF段与AB棒材料与横截面积均相同，单位长度的电阻均为r，整个斜面处在垂直斜面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．求：
（1）导体棒在导轨DEF上滑动时电路中电流的大小；
（2）导体棒运动到DF位置时AB两端的电压；
（3）将导体棒从底端拉到斜面顶端过程电机对杆做的功．

Answer 1

分析：（1）根据感应电动势公式得出电动势与有效长度的关系，由题意得到电阻与有效长度的关系，根据欧姆定律得到导体棒在导轨DEF上滑动时电路中电流的大小；
（2）AB两端的电压等于AD、DF、FB三段感应电动势之和．AD、FB两段电压等于感应电动势．DF段根据电压分配求出．
（3）根据功能关系可知，导体棒从底端拉到斜面顶端过程电机对杆做的功等于导体棒增加的重力势能与电路产生的热量之和．AB棒在DEF上滑动时产生的电热Q₁，数值上等于克服安培力做的功．

解答：解：（1）设AB棒等效切割长度为l，则
        感应电动势为E=Blv₀                                                 
        回路电阻为R=3lr
       回路电流为I=

E

R

=

Bv0

3r

                                                  
    （2）AB棒滑到DF处时
      AB两端的电压U_BA=U_DA+U_FD+U_BF
         U_DA+U_BF=BLv₀
         而U_DF=

2lr

3lr

BLv0=

2

3

BLv0                                                        
       得U_BA=U_DA+U_FD+U_BF=

5

3

BLv0
    （3）导体棒重力势能的增加量△E_P=mg（2L+Lcos30°）sin30°=

4+ 3

4

mgL                              
     AB棒在DEF上滑动时产生的电热Q₁，数值上等于克服安培力做的功Q₁=W_安   
        又因为F安∝S，如图，故 Q₁=W_安=

0+F安max

2

?

3

2

L=

3 B2L2v0

12r

    AB棒在CDFG导轨上滑动时产生的电热Q₂，电流恒定，电阻不变
        则Q₂=I²Rt=（

Bv0

3r

）²?3Lr?

L

v0

=

B2L2v0

3r

 得，电机做的功W=△E_P+Q₁+Q₂=

4+ 3

4

(mgL+

B2L2v0

3r

)   
答：（1）导体棒在导轨DEF上滑动时电路中电流的大小为流为

Bv0

3r

；  
     （2）导体棒运动到DF位置时AB两端的电压为

5

3

BLv0；
     （3）将导体棒从底端拉到斜面顶端过程电机对杆做的功是

4+ 3

4

(mgL+

B2L2v0

3r

)．

点评：本题难点在于求AB棒在DEF上滑动时产生的电热，根据导体棒克服安培力做功求解．容易出现的错误有两处：一是求AB的电压只考虑DF段电压．二是AB棒在DEF上滑动的距离当作Lsin30°．