Question

如图所示，在坐标系xOy第二象限内有一圆形匀强磁场区域（图中未画出），磁场方向垂直xOy平面．在x轴上有坐标（-2l₀，0）的P点，三个电子a、b、c以相等大小的速度沿不同方向从P点同时射入磁场区，其中电子b射入方向为+y方向，a、c在P点速度与b速度方向夹角都是θ=

π

3

．电子经过磁场偏转后都垂直于y轴进入第一象限，电子b通过y轴Q点的坐标为y=l₀，a、c到达y轴时间差是t₀．在第一象限内有场强大小为E，沿x轴正方向的匀强电场．已知电子质量为m、电荷量为e，不计重力．求：
（1）电子在磁场中运动轨道半径和磁场的磁感应强度B．
（2）电子在电场中运动离y轴的最远距离x．
（3）三个电子离开电场后再次经过某一点，求该点的坐标和先后到达的时间差△t．

Answer 1

分析：（1）连接两个圆心、入射点和出射点构成的平行四边形，得到当圆形磁场区域半径等于粒子做圆周运动的半径时，从磁场边缘的一点向各个方向射出的粒子，偏转后平行射出，由几何关系得到轨道半径，然后根据洛伦兹力提供向心力列式求解；
（2）电子进入电场后做匀减速直线运动，根据动能定理列式求解；
（3）连接两个圆心、入射点和出射点构成的平行四边形，得到当圆形磁场区域半径等于粒子做圆周运动的半径时，宽度与磁场直径相等的粒子束经过磁场后汇聚一点，然后作出三个粒子束的轨迹图后进行分析．

解答：解：（1）三电子轨迹如图．

由图可知，R=l₀
设a、c到达y轴时间差为t₀，其中它们离开磁场后到达y轴时间是相等的，在磁场区中a转过30°圆心角，时间t_a=

T

12

，c转过150°圆心角，时间t_c=

5T

12

，
t₀=t_b-t_a=

T

3

=

2πm

3eB0

，故B₀=

2πm

3et0

（2）电子在磁场中运动ev₀B₀=m

v02

R

，解得v₀=

eB0R

m

=

2πl0

3t0

在电场中-eEx₁=0-

1

2

m

v

2 0

得x₁=

m v 2 0

2Ex1

（3）电子离开电场再次返回磁场轨迹如图，坐标x=-2l₀，y=2l₀，由运动的对称性可知：
a、c同时到达，与b比较磁场中运动时间都是半个周期，电场中运动时间也都相等，所以时间差为在非场区
△t=2（R-Rcos60°）=l₀
△t=

l0

v0

=

3t0

2π

，b先到达．
答：（1）电子在磁场中运动轨道半径为l₀，磁场的磁感应强度B为

2πm

3et0

；
（2）电子在电场中运动离y轴的最远距离为

m v 2 0

2Ex1

；
（3）三个电子离开电场后再次经过某一点，该点的坐标和先后到达的时间差△t为

3t0

2π

．

点评：本题关键是画出粒子的运动轨迹图进行动态分析，然后结合几何关系并运用洛伦兹力提供向心力列式求解．