Question

如图所示，长为L的绝缘细线，一端悬于O点，另一端连接一质量为m的带负电小球，置于水平向右的匀强电场中，在O点正下方钉一个钉子O′，已知小球受到的电场力为重力的

1

3

，现将细线向右水平拉直后从静止释放，细线碰到钉子后要使小球刚好绕钉子O′在竖直平面内作圆周运动，求OO′长度．

Answer 1

分析：本题是一个摆在重力场和电场的叠加场中的运动问题，由于重力场和电场力做功都与路径无关，因此可以把两个场叠加起来看成一个等效力场来处理，如图所示，分析小球的运动过程：摆球先沿电场力与重力的合力方向做匀加速直线运动，绳子绷紧瞬间，沿绳子方向的分速度突然减小为零，再以切向分速度绕O′点做圆周运动．在等效力场中，过点O′做合力F的平行线与圆的交点为Q，即为摆球绕O′点做圆周运动的“最高点”，由合力提供向心力，求出“最高点”的临界速度表达式，再结合能量守恒列式求解．

解答：解：由于重力场和电场力做功都与路径无关，因此可以把两个场叠加起来看成一个等效力场来处理，如图所示，有：
tanθ=

mg

Eq

=

mg

1 3 mg

=

3

得：θ=60°
开始时，摆球在合力F的作用下沿力的方向作匀加速直线运动，从A点运动到B点，由图可知，△AOB为等边三角形，则摆球从A到B，在等效力场中，由能量守恒定律得：F=

1

2

m

v

2 B

　
在B点处，由于在极短的时间内细线被拉紧，摆球受到细线拉力的冲量作用，法向分量v₂变为零，切向分量为：
v₁=v_Bcos30°=

3

2

vB
接着摆球以v₁为初速度沿圆弧BC做变速圆周运动，碰到钉子O′后，在竖直平面内做圆周运动，在等效力场中，过点O′做合力F的平行线与圆的交点为Q，即为摆球绕O′点做圆周运动的“最高点”，在Q点应满足：F=m

v 2 Q

R

根据能量守恒定律得：

1

2

m

v

2 1

+（-

1

2

FL）=

1

2

m

v

2 Q

+[-F（L-R）cos30°-R]
联立方程可解得：R=

2 3 +1

2 3 +6

L
所以得：OO′=L-R=

5

2 3 +6

L
答：OO′长度是

5

2 3 +6

L．

点评：考生以前做过不少“在重力场中释放摆球．摆球沿圆弧线运动的习题”．受到这道题思维定势的影响，没能分析出本题的摆球是在重力场和电场叠加场中运动．小球同时受到重力和电场力的作用，这两个力对摆球运动轨迹都有影响．受“最高点”就是几何上的最高点的思维定势的影响，没能分析清楚物理意义上的“最高点”含义．在重力场中应是重力方向上物体运动轨迹的最高点，恰好是几何意义上的最高点．而本题中，“最高点”则是重力与电场力的合力方向上摆球运动的轨迹的最高点．