Question

（20分）同步加速器在粒子物理研究中有重要的应用，其基本原理简化为如图所示的模型。M、N为两块中心开有小孔的平行金属板。质量为m、电荷量为+q的粒子A（不计重力）从M板小孔飘入板间，初速度可视为零，每当A进入板间，两板的电势差变为U，粒子得到加速，当A离开N板时，两板的电荷量均立即变为零。两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A在磁场作用下做半径为R的圆周运动，R远大于板间距离，A经电场多次加速，动能不断增大，为使R保持不变，磁场必须相应地变化。不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应。求

（1）A运动第1周时磁场的磁感应强度B₁的大小；
（2）在A运动第n周的时间内电场力做功的平均功率；
（3）若有一个质量也为m、电荷量为+kq（k为大于1的整数）的粒子B（不计重力）与A同时从M板小孔飘入板间，A、B初速度均可视为零，不计两者间的相互作用，除此之外，其他条件均不变，下图中虚线、实线分别表示A、B的运动轨迹。在B的轨迹半径远大于板间距离的前提下，请指出哪个图能定性地反映A、B的运动轨迹，并经推导说明理由。

Answer 1

（1）；（2）；（3）A图能定性地反映A、B运动的轨迹；

试题分析：（1）设A经电场第1次加速后速度为v₁，由动能定理得
         ①
A在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力充当向心力
       ②
联立解得：          ③
（2）设A经n次加速后的速度为v_n，由动能定理得
            ④
设A做第n次圆周运动的周期为T_n，有
              ⑤
设在A运动第n周的时间内电场力做功为W_n，则
     ⑥
在该段时间内电场力做功的平均功率为
        ⑦
联立解得：          ⑧
（3）A图能定性地反映A、B运动的轨迹。
A经地n加速后，设其对应的磁感应强度为B_n，A、B的周期分别为、，综合②⑤式并分别应用A、B的数据得


由上可知，是的k倍，所以A每绕得1周，B就绕行k周。由于电场只在A通过时存在，故B仅在与A同时进入电场时才被加速。
经n次加速后，A、B的速度分别为、，结合④式有


由题设条件并结合⑤式，对A有

设B的轨迹半径为，有

比较以上两式得

上式表明，运动过程B的轨迹半径始终不变。
由以上分析可知，两粒子运动的轨迹如图A所示。