Question

如下图甲所示，在以O为坐标原点的xOy平面内，存在着范围足够大的电场和磁场．一个带正电小球在0时刻以v=3gt的初速度从O点沿+x方向（水平向右）射入该空间，在t时刻该空间同时加上如下图乙所示的电场和磁场，其中电场沿+y方向（竖直向上），场强大小，磁场垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小．已知小球的质量为m，带电量为q，时间单位t，当地重力加速度g，空气阻力不计．试求：
（1）12t末小球速度的大小．
（2）在给定的xOy坐标系中，大体画出小球在0到24t内运动轨迹的示意图．
（3）30t内小球距x轴的最大距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）正确对小球进行受力分析，明确运动形式，求出圆周运动的周期和所给时间直间的关系，最后利用平抛运动规律求解；
（2）根据第一问的解答，可正确画出图象；
（3）利用运动的周期性画出30t内小球运动轨迹图，然后利用数学知识求解．
解答：解：（1）0～t内，小球只受重力作用，做平抛运动．当同时加上电场和磁场时，电场力：F₁=qE=mg，方向向上，因为重力和电场力恰好平衡，所以在电场和磁场同时存在时小球只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：
，
运动周期：
联立解得：T=2t
电场、磁场同时存在的时间正好是小球做圆周运动周期的5倍，即在这10t内，小球恰好做了5个完整的匀速圆周运动．所以小球在t₁=12 t时刻的速度相当于小球做平抛运动t=2t时的末速度．
v_y1=g?2t=2gt，所以12t末：

答：12t末小球速度的大小为．
（2）开始12t时间内小球完成5个圆周运动和部分平抛运动，在接下来的12t时间运动规律类似，但是小球速度变大，运动班级变大，故24t内运动轨迹的示意图如右图所示．

（3）由下图分析可知，小球在30t时与24t时的位置相同，在24t内小球做了t₂=3t的平抛运动，和半个圆周运动．
23t末小球平抛运动的竖直分位移大小为：


竖直分速度：v_y2=3gt
所以小球与竖直方向的夹角为θ=45°，速度大小为：

此后小球做匀速圆周运动的半径：

30t末小球距x轴的最大距离：
y₃=y₂+（1+cos45°）r₂=
答：30t内小球距x轴的最大距离为：．
点评：解答带电粒子在磁场中运动的思路是正确受力分析，画出运动轨迹图，这类问题对学生数学知识要求较高，是考查重点和难点．