Question

（20分）某甲设计了1个如图所示的“自动喷泉”装置，其中A、B、C为3个容器，D、E、F为3根细管，管栓K是关闭的．A、B、C及细管D、E中均盛有水，容器水面的高度差分别为和如图所示．A、B、C的截面半径为12cm，D的半径为0.2cm．甲向同伴乙说：“我若拧开管栓K，会有水从细管口喷出．”乙认为不可能．理由是：“低处的水自动走向高外，能量从哪儿来？”甲当即拧开K，果然见到有水喷出，乙哑口无言，但不明白自己的错误所在．甲又进一步演示．在拧开管栓K前，先将喷管D的上端加长到足够长，然后拧开K，管中水面即上升，最后水面静止于某个高度处．

(1)论证拧开K后水柱上升的原因；

(2)当D管上端足够长时，求拧开K后D中静止水面与A中水面的高度差；

(3)论证水柱上升所需能量的来源。

Answer 1

解析：

实践证明，甲的设计是正确的，所以乙的结论肯定是错的。

（1）设大气压为，水的密度为。拧开前的情况如图复的（a）图所示。由流

体静力学可知，、中气体的压强为

　　    （1）

中气体的压强为

                  （2）

由（1）、（2）两式可得

即，当拧开后，中气体压强降至，此时

                   （3）

即管中容器水面以上的那一段水柱所受合力向上，所以管中水柱上升。

（2）拧开后，水柱上升，因管上端已足够长，故水不会从管口喷出．设到中的水面静止时中增加水量的体积为，则中减少水量的体积亦为，其水面将略有降低，因而及中气体压强路有下降，中的水将通过管流入中，当从流入水量的体积等于时，、中气体压强恢复原值。因为、、的半径为管半径的60倍，截面积比为3600倍，故、、中少量水的增减（）引起的、、中水面高度的变化可忽略不计，即和的数值保持不变。

设中水面静止时与中水面的高度差为，（见图（b）），则有

                     （4）

由此可得                                                     （5）

（3）将图复（a）和(b)两图相比较可知，其差别在于体积为的水从移至中，另的水又由移入中，前者重力势能减少，而后者重力势能增大，前者的重力势能减少量为

                                 （6）

中增加的水柱的重心离中水面的高度为，故后者的重力势能增量为

                               （7）

即

由此可知，体积为的水由流入中减少的势能的一部分转化为同体积的水由进入中所需的势能，其余部分则转化为水柱的动能，故发生上下振动，中水面静止处为平衡点．由于水与管间有摩擦等原因，动能逐步消耗，最后水面停留在距中水面处。