Question

1．一质点从高处自由下落距离h后，落到倾角为45°的很长的光滑斜面上，与斜面发生多次碰撞，每次碰撞后沿斜面方向的分速度不变，垂直斜面的分速度大小不变，方向相反，如图建立直角坐标系，重力加速度为g．求：
（1）第n次（n=1，2.3…）碰撞结束时质点速度的x分量和y分量；
（2）相邻两次碰撞之间的时间间隔．

Answer 1

分析 首先将自有下落分解为沿斜面方向和垂直斜面方向的运动，再结合题意分析两个分运动的运动特点，求出时间间隔；再据运动学公式求出分运动的速度，在求出水平方向和竖直方向的速度即可．

解答 解：小球的运动可分解为沿斜面向下的匀加速和垂直斜面的来回反弹的运动，如图．
小球与斜面每连续碰撞两次之间的时间间隔就等于小球在垂直斜面方向上来回运动一次的时间，由于在垂直斜面的方向上，任一来回小球的位移为零，沿这个方向的分力不做功，因此每次与斜面碰前或碰后的瞬间在垂直斜面方向上的分速度大小始终不变，即相邻碰撞两次之间的时间间隔是相等的．
设小球第一次与斜面碰前的瞬时速度为v₀，所以有：2mgh=$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}$
根据反射定律，第一次碰后的速度是水平的，可以分解沿斜面和垂直斜面方向的两个分运动的初速度，分别都为$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$
设每次碰撞之间的时间间隔为△t，据前面的分析有：△t=$\frac{2{v}_{1垂}}{{a}_{垂}}=\frac{2{v}_{0}}{g}$=$\sqrt{\frac{8h}{g}}$
第n此与斜面碰撞，小球所经历的时间为：t_n=（n-1）△t
设此时沿斜面的分速度为：v_n=$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}+{a}_{∥}{t}_{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}+\frac{\sqrt{2}}{2}g（n-1）△t$
建立直角坐标系，第n次碰后瞬间垂直斜面方向的分速度和沿斜面的分速度分别如上图所示，因此水平上的为：v_x=${v}_{n}\frac{\sqrt{2}}{2}$+${v}_{0}•\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
联立以上解得：v_x=nv₀=n$\sqrt{2gh}$
顺直速度为：v_y=${v}_{n}\frac{\sqrt{2}}{2}$-${v}_{0}•\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=（n-1）v₀=（n-1）$\sqrt{2gh}$
答：（1）第n次（n=1，2.3…）碰撞结束时质点速度的x分量和y分量分别为：v_x=n$\sqrt{2gh}$和v_y=（n-1）$\sqrt{2gh}$；
（2）相邻两次碰撞之间的时间间隔$\sqrt{\frac{8h}{g}}$．

点评 此题综合性强，难度大，解决方法独特，此题的关键是据运动的分解分解成两个分运动，据此向下分析；二是此题计算量大，极易出错．