Question

我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行．为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化．卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球．设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R₁，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r₁，月球绕地球转动的周期为T．假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R₁、r、r₁和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）．
附：解答本题可能用到的数学知识：
若sinθ=a，则θ=arcsina；若cosθ=b，则θ=arccosb．

Answer 1

分析：根据题意画出地球和月球的平面示意图，作出地月球面的公切线，找出卫星运动时发出的信号被遮挡所在的圆弧．
根据万有引力定律求出探月卫星绕月球转动的周期．
由几何关系求出发出的信号被遮挡所在的圆弧所对应的圆心角，再结合周期求出信号被遮挡的时间．

解答：解：如图，O和O′分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A是地月连心级OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点，根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点．卫星在圆弧BE上运动时发出的信号被遮挡．
设探月卫星的质量为m₀，万有引力常量为G，根据万有引力定律有

GMm

r2

=m

4π2

T

r  ①

Gmm0

r 2 1

=m₀

4π2

T1

r₁  ②
式中，T₁是探月卫星绕月球转动的周期．
由①②式得(

T1

T

)2=

M

m

(

r1

r

)3③
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有

t

T1

=

α-β

π

④?
式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B．
由几何关系得  rcosα=R-R₁⑤r₁cosβ=R₁⑥
由③④⑤⑥式得t=

T

π

Mr 3 1 mr3

（arccos

R-R1

r

-arccos

R1

r1

）

点评：本题的关键是要能够根据题意作出物理情景图象，找出所要求解的运动区域．
数学几何关系的应用也是解决本题的关键．