Question

已知地球和冥王星半径分别为r₁、r₂，绕太阳公转半径分别为r₁′、r₂′，公转线速度分别为v₁′、v₂′，表面重力加速度分别为g₁、g₂，平均密度分别为ρ₁、ρ₂，地球第一宇宙速度为v₁，飞船贴近冥王星表面环绕线速度为v₂，则下列关系正确的是（　　）

• A、

  v1

  v2

  =

  r2 r1

• B、ρ1

  r

  2 1

  v

  2 2

  =ρ2

  r

  2 2

  v

  2 1

• C、

  v1′

  v2′

  =

  r2′ r1′

• D、g₁ r₁²=g2r22

Answer 1

分析：根据万有引力提供向心力

GMm

r2

=m

v2

r

去求公转的线速度之比，以及第一宇宙速度之比．
根据万有引力等于重力求星球表面重力加速度之比．

解答：解：A、根据万有引力提供向心力：

GMm

r2

=m

v2

r

，v=

GM r

由于不知道地球和天王星的质量比，所以无法求出

v1

v2

，故A错误；
B、卫星的万有引力提供向心力，有：
G

Mm

R2

=m

v2

R

M=ρV
V=

4

3

πR3
联立得到：

ρR2

v2

=

3

16π

（常数）
故：ρ1

r

2 1

v

2 2

=ρ2

r

2 2

v

2 1

，故B正确；
C、根据万有引力提供向心力：

GMm

r2

=m

v2

r

，解得：v=

GM r

地球和天王星的公转半径之比为r₁′：r₂′，所以公转速度之比

v1′

v2′

=

r2′ r1′

，故C正确；
D、星球表面的重力加速度g=

GM

r 2

（其中r为星球的半径），可得gr²=GM，故g₁r₁²=GM_地，g₂r₂²=GM_冥，故g₁r₁²≠g₂r₂²，故D错误；
故选：BC．

点评：解决本题的关键搞清楚公转、第一宇宙速度等问题中，谁是中心天体，谁是环绕天体，然后根据万有引力提供向心力，万有引力等于重力进行求解．