Question

如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨单位长度电阻为r₀，导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离为l．有垂直纸面向里的非匀强磁场，其磁感应强度沿y方向大小不变，沿x方向均匀增强，即有B=kx，其中k为常数．一根质量为m，电阻不计的金属杆MN可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中始终保持与导轨垂直．在t=0时刻，金属杆MN紧靠在P、Q端，在外力F作用下，杆以恒定的加速度a从静止开始向导轨的另一端滑动．求
（1）在t时刻金属杆MN产生的感应电动势大小；
（2）在t时刻流经回路的感应电流大小和方向；
（3）在t时刻金属杆MN所受的安培力大小；
（4）在0～t时间内流过金属杆MN的电量大小．

Answer 1

（1）在时刻t，有x=

1

2

at2B=kx=

1

2

kat2，
此时杆的速度为  v=at
所以在t时刻金属杆MN产生的感应电动势大小为ε=Blv=

1

2

kla2t3  ①
（2）在时刻t，回路的总电阻R=2xr0=ar0t2
所以在t时刻流经回路的感应电流大小为 I=

ε

R

=

klat

2r0

 ②
由右手定则判断得知，感应电流方向为NMPQN（逆时针方向）．
（3）在t时刻金属杆MN所受的安培力大小为 F=BIl=

1

2

kat2?

klat

2r0

?l=

k2a2l2t3

4r0

  ③
（4）由②式可知I随时间t均匀变化，作出感应电流-时间图象如图，由i-t图可知，图中三角形所围的面积即为流经MN的电量，
所以q=

.

I

?t=

1

2

I?t=

1

2

?

klat

2r0

?t=

klat2

4r0

  ④
答：（1）在t时刻金属杆MN产生的感应电动势大小为

1

2

kla2t3；
（2）在t时刻流经回路的感应电流大小为

klat

2r0

，方向为NMPQN；
（3）在t时刻金属杆MN所受的安培力大小为

k2a2l2t3

4r0

；
（4）在0～t时间内流过金属杆MN的电量大小是

klat2

4r0