Question

已知万有引力常量为G，地球半径为R，同步卫星距地面的高度为h，地球的自转周期为T，地球表面的重力加速度为g．某同学根据以上条件，提出一种估算地球赤道表面的物体随地球自转的线速度大小的方法：地球赤道表面的物体随地球作圆周运动，由牛顿运动定律有

GMm

R2

=m

v2

R

又因为地球上的物体的重力约等于万有引力，有mg=

GMm

R2

由以上两式得：v=

gR

（1）请判断上面的结果是否正确．如不正确，说明理由并给出正确的解法和结果．
（2）求地球质量
（3）求同步卫星线速度．

Answer 1

分析：（1）地球赤道上的物体做圆周运动的向心力是万有引力与地面对物体支持力的合力提供，不是万有引力提供．抓住周期与地球自转周期相同，结合线速度与周期的关系求出线速度的大小．
（2）根据万有引力提供向心力求出地球的质量．
（3）根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出同步卫星的线速度．

解答：解：（1）以上结果是不正确的．因为地球赤道表面的物体随地球作圆周运动的向心力并不是物体所受的万有引力，而是万有引力与地面对物体支持力的合力．
正确解答如下：地球赤道表面的物体随地球自转的周期为T，轨道半径为R，所以线速度大小为v=

2πR

T

（2）①可估算地球的质量M，设同步卫星的质量为m，轨道半径为r=R+h，周期等于地球自转的周期为T，由牛顿第二定律有G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
可得M=

4π2(R+h)3

GT2

②或可估算同步卫星运行时线速度的大小v'，由①知地球同步卫星的周期为T，万有引力提供向心力G

Mm

(R+h)2

=m

v′2

R+h

对地面上的物体有G

Mm

R2

=mg
所以得v′=R

g R+h

．
答：（1）以上结果是不正确的．因为地球赤道表面的物体随地球作圆周运动的向心力并不是物体所受的万有引力，而是万有引力与地面对物体支持力的合力．线速度的大小为v=

2πR

T

．
（2）地球的质量为M=

4π2(R+h)3

GT2

．
（3）同步卫星线速度为v′=R

g R+h

．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．