Question

“神舟七号”飞船完成了预定空间科学和技术实验任务后，返回舱于2008年9月28日17时37分开始从太空向地球表面按预定轨道返回，在离地10km  的高度打开阻力降落伞减速下降，这一过程中若返回舱所受阻力与速度的平方成正比，比例系数（空气阻力系数）为k．设返回舱总质量M=3000kg，所受空气浮力恒定不变，且认为竖直降落．从某时刻开始计时．返回舱的运动v--t图象如图中的AD曲线所示，图中AB是曲线在A点的切线，切线交于横轴一点B的坐标为（8，0），CD是平行横轴的直线，交纵轴于C点，c的坐标为（0，8）．g取10m/s²，请回答下列问题：
（1）在初始时刻v₀=160m/s时，它的加速度多大？
（2）推证空气阻力系数的表达式并算出其数值．
（3）返回舱在距离地面高度h=1m时，飞船底部的4个反推力小火箭点 火工作，使其速度由8m/s迅速减至1m/s后落在地面上，若忽略燃料质量的减少对返回舱总质量的影响，并忽略此阶段速度变化而引起空气阻力的变化，试估算每支小火箭的平均推力．（计算结果取两位有效数字）

Answer 1

分析：（1）由v-t图象切线的斜率为此时的加速度，可以得到v₀=160m/s时，它的加速度
（2）在v-t图象选取两个点，t=0时，列牛顿第二定律，和v=8m/s时，由于是匀速阶段，故列平衡方程，两式联立可以解得k的表达式和数值
（3）此阶段是在火箭反推力下做的匀减速直线运动，故可以由此求得加速度表达式，再由运动学可以解得推力．

解答：解：（1）由v-t图象性质可以得，在初始v₀=160m/s时，过A点切线的斜率为此时的加速度，设为a₁，其大小为：a1=

△v

△t

=

160

8

m/s2=20m/s2
（2）由图知，返回舱的速度变化率逐渐减小，最有是以v₁=8m/s的速度做匀速运动，设返回舱受空气浮力为f
在t=0时，由牛顿第二定律：
kv02+f-Mg=Ma1
速度为v₁=8m/s时，返回舱受力平衡，有
kv12+f-Mg=0
由以上两式解得：
k=

Ma1

v02-v12

带入数据得：
k=2.35kg/m
（3）设每只小火箭的平均推力为F₀，反推加速度为a₂，着地速度为v₂，由题意知，返回舱在距离地面高度h=1m前，已经处于匀速运动状态，故返回舱在着地前的加速度由4个小火箭的反推力产生，根据牛顿第二定律有：
4F₀-Mg=Ma₂
又由运动学公式：
v22-v12=-2a2h
由以上两式解得：
F0=

M(v12-v22)

8h

带入数据解得：
F₀=24375N
保留两位有效数字得：
F₀=2.4×10⁴N
答：
（1）在初始时刻速度为160m/s时，它的加速度为20m/s²
（2）推证空气阻力系数的表达式为k=

Ma1

v02-v12

，数值k=2.35kg/m
（3）每支小火箭的平均推力为2.4×10⁴N

点评：本题的关键点就是对v-t图象的识别和应用，这类题目需要特别注意的是特殊点，即速度和时间都有明确数值的点，另应注意起点，终点，交点，斜率四个知识点．