Question

如图所示，A、B是两块竖直放置的平行金属板，相距为2L，分别带有等量的负、正电荷，在两板间形成电场强度大小为E的匀强电场．A板上有一小孔（它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计），孔的下沿右侧有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道，一个质量为m，电荷量为g（g＞0）的小球（可视为质点），在外力作用下静止在轨道的中点P处．孔的下沿左侧也有一与板垂直的水平光滑绝缘轨道，轨道上距A板L处有一固定档板，长为L的轻弹簧左端固定在挡板上，右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q．撤去外力释放带电小粒，它将在电场力作用下由静止开始向左运动，穿过小孔后（不与金属板A接触）与薄板Q一起压缩弹簧，由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能．小球从接触Q开始，经历时间To第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回．由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺，使得小球每次离开Q瞬间，小球的电荷量都损失一部分，而变成刚与Q接触时小球电荷量的

1

k

（k＞1）求：
（l）小球第一次接触Q时的速度大小；
（2）假设小球第n次弹回两板间后向右运动的最远处没有到达B板，试导出小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间Tn的表达式；
（3）若k=2，且小孔右侧的轨道粗糙与带电小球间的滑动摩擦力为f=

qE

4

，试求带电小球最终停止的位置距P点的距离．

Answer 1

（1）设小球第一次接触Q的速度为v，接触Q前的加速度为a．
根据牛顿第二定律有 qE=ma                                   
对于小球从静止到与Q接触前的过程，根据运动学公式有v²=2al    
联立解得v=

2qEL m

              
（2）小球每次离开Q的速度大小相同，等于小球第一次与Q接触时速度大小
v=

2qEL m

                        
设小球第n次离开Q向右做减速运动的加速度为a_n，速度由v减为零
所需时间为t_n，小球离开Q所带电荷量为q_n，则
q_nE=ma_n   
t_n=

v

an

                                      
q_n=

q

kn

                               
联立解得t_n=

mv

qE

kn                              
小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间
T_n=2T₀+

2mL qE

kⁿ，
（3）假设小球第1次弹回两板间后向右运动最远距A板距离为L₁，则
（qE-f）L-（

qE

k

+f）L₁=0       
即L₁=L              
假设小球第2次弹回两板间后向右运动最远距A板距离为L₂，则
（qE-f）L-2fL₁-（

qE

k2

+f）L₂=0
即L₂=

1

2

L          
又因此时电场力F=

qE

k2

=

qE

4

=f，即带电小球可保持静止
带电小球最终停止的位置距P点的距离L₃为
L₃=L-

L

2

=

L

2

 
答：（l）小球第一次接触Q时的速度大小是

2qEL m

；
（2）小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间Tn的表达式是T_n=2T₀+

2mL qE

kⁿ；
（3）带电小球最终停止的位置距P点的距离是

L

2

．