Question

如图1所示，在实验室的真空室内，两块正对的平行金属板水平放置．在两板之间有一匀强电场，场强按图2所示的规律变化（沿y轴方向为正方向）．在两板正中间有一圆形垂直纸面向外的匀强磁场区域，磁感应强度按图3所示规律变化，如果建立如图1所示的坐标系，在t=0时刻，有一质量m=9.0×10^-9kg、电荷量q=9.0×10^-6C的带正电的小球，以v₀=1m/s的初速度沿y轴正方向从O点射入．试求：

（1）小球在匀强磁场中运动的轨迹长度；
（2）小球再次到达x轴的坐标；
（3）画出小球从O点到再次到达x轴的运动轨迹示意图（请标注必要的角度和位置）．

Answer 1

分析：粒子进入磁场后，受到电场力、重力和洛伦兹力，计算出重力与电场力的大小，得到它们大小相等，由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，设单位时间t=

π

60

s，根据牛顿第二定律求出粒子的轨迹半径和周期T，根据t与T的关系，分析在第一、二个单位时间内粒子在磁场中转过的圆心角．在第三单位时间内，用同样的方法求出粒子在磁场中转过的圆心角，画出轨迹，确定经过几个单位时间，粒子刚好射出磁场，即可求得时间和离开磁场时的位置坐标．

解答：解：（1）粒子进入磁场后，受到电场力、重力和洛伦兹力，因为重力大小为 G=mg=9.0×10^-9×10N=9.0×10^-8N．电场力F=qE=9.0×10^-6×10^-2N=9.0×10^-8N，则重力与电场力平衡，小球刚进入磁场后由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动．
设单位时间t=

π

60

s．则
在第一、二个t内，B₁=1×10^-2T
由qvB₁=m

v2

R1

得，轨道半径 R₁=

mv

qB1

=

9×10-9×1

9×10-6×10-2

=0.1m，周期 T₁=

2πm

qB1

=

2π×9×10-9

9×10-6×10-2

=

π

5

s
故t=

1

12

T1
粒子在第一、二个t内，在磁场中转过的圆心角为60°．
在第三个t内，B₂=12×10^-2T，小球仍做匀速圆周运动，
轨道半径为 R₂=

1

12

R1=

1

120

m，T₂=

2πm

qB2

=

2π×9×10-9

9×10-6×12×10-2

s=

π

60

s
则t=T₂，在这段时间内，小球正好运动一周回到原来的位置，在第四个t内，小球又运动30°，正好离开磁场．
所以小球在匀强磁场中运动的轨迹长度为：S=

1

4

?2πR1+2πR₂=

π×0.1

2

+2π×

1

120

=

π

15

m．
（2）粒子在磁场中运动时间为 t=3×

π

60

s，离开磁场后，粒子的电场力与重力仍平衡，运动2t=2×

π

60

s时间时，电场方向变为竖直向下，做类平抛运动，故有：
 a=

qE+mg

m

=2g
穿过x轴时竖直方向的位移为 y=

1

2

at′2=0.1m，解得：t′=0.1s
小球在水平方向的位移为：x=v₀t′=1×0.1m=0.1m
故小球再次到达x轴的横坐标为：X=0.1m+v₀?2t+x=0.2m+1×2×

π

60

m≈0.3m
所以小球再次到达x轴的坐标为（0.3m，0）
（3）小球从O点到再次到达x轴的运动轨迹示意图如图所示．
答：
（1）小球在匀强磁场中运动的轨迹长度是

π

15

m；
（2）小球再次到达x轴的坐标是（0.3m，0）；
（3）画出小球从O点到再次到达x轴的运动轨迹示意图如图所示．

点评：本题带电粒子在交变电磁场中，通过计算分析受力情况，判断粒子的运动情况是关键．