Question

如图，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一档板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m．给小球一水平向右的瞬时冲量I，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，瞬时冲量必须满足（　　）

• A．最小值m

  4gr

• B．最小值m

  5gr

• C．最大值m

  6gr

• D．最大值m

  7gr

Answer 1

分析：当小球恰好到达最高点时，由重力提供向心力，求出小球在最高点时速度，根据机械能守恒定律求出小球经过最低点时速度，由动量定理求出瞬时冲量的最小值．当小球经过最高点恰好使环在竖直方向上跳起时，对环的压力等于环和木板B的重力和时，根据牛顿第二定律求出小球在最高点时速度，根据机械能守恒定律求出小球经过最低点时速度，由动量定理求出瞬时冲量的最大值．

解答：解：当小球恰好到达最高点时，设小球经过最高点时速度为v₁，最低点速度为v₂，则
mg=m

v 2 1

r

                 ①
根据机械能守恒定律得
mg?2r+

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 2

       ②
由①②联立得
v₂=

5gr

由动量定理求出瞬时冲量的最小冲量I₁=mv₂=m

5gr

．
当小球经过最高点恰好使环在竖直方向上跳起时，小球对环的压力等于环的重力和木板B的重力和．
以小球为研究对象，根据牛顿第二定律得
mg+2mg=m

v ′ 2 1

r

             ③
根据机械能守恒定律得
mg?2r+

1

2

m

v ′ 2 1

r

=

1

2

mv

′

2 2

      ④
解得v₂′=

7gr

由动量定理求出瞬时冲量的最大冲量I₂=mv₂′=m

7gr

综上，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，则瞬时冲量的最小值为m

5gr

，最大值为m

7gr

．
故选BD．

点评：本题考查机械能守恒定律、牛顿第二定律和动量定理综合应用的能力，本题要紧扣临界条件．