Question

如图所示，真空中有以（r，0）为圆心，半径为 r 的圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向里，在 y=r 的虚线上方足够大的范围内，有水平向左的匀强电场，电场强度的大小为 E，现在有一质子从 O 点沿与 x 轴正方向斜向下成 30° 方向（如图中所示）射入磁场，经过一段时间后由M点（图中没有标出）穿过y轴．已知质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 r，质子的电荷量为 e，质量为 m，不计重力、阻力．求：
（1）质子运动的初速度大小；
（2）M点的坐标；
（3）质子由O点运动到M点所用时间．

Answer 1

分析：（1）质子射入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求解初速度的大小．
（2）沿x轴正方向射入磁场的质子，在磁场中转过 120°角后，从 P 点再匀速运动一段距离后垂直电场线进入电场．质子进入电场做类平抛运动，根据水平方向偏转距离等于圆周运动的半径，画出轨迹，由几何知识求出质子出磁场时的位置到y轴的距离，由牛顿第二定律和运动学结合求解M点的坐标．
（3）在磁场中，根据轨迹对应的圆心角，由t=

θ

2π

T求出运动的时间；匀速运动的时间由t=

s

v

求出；由牛顿定律和运动学公式求出电场中运动的时间．

解答：解：（1）质子在磁场做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 Bve=m

v2

r

∴v=

Ber

m

（2）质子在磁场和电场中运动轨迹如图所示，质子在磁场中转过 120°角后，从 P 点再匀速运动一段距离后垂直电场线进入电场，由几何关系得 P 点距 y 轴的距离为 x₂=r+rsin30°=1.5 r
质子在电场中做类平抛运动，所以有
   Ee=ma①
  x2=

1

2

a

t

2 3

②
由①②得t3=

3rm eE

M点的纵坐标 y=r+vt3=r+Br

3re mE

所以M点坐标为（0，r+Br

3re mE

）
（3）质子在磁场中运动时间 t1=

1

3

T=

2πm

3Be

由几何关系得P点的纵坐标y2=r

3

2

所以质子匀速运动时间t2=

r-y2

v

=

(2- 3 )m

2Be

质子由O点运动到M点所用时间t=t1+t2+t3=

2πm

3Be

+

(2- 3 )m

2Be

+

3rm eE

答：（1）质子运动的初速度大小是

Ber

m

；
（2）M点的坐标是（0，r+Br

3re mE

）；
（3）质子由O点运动到M点所用时间是

2πm

3Be

+

(2- 3 )m

2Be

+

3rm eE

．

点评：本题是带电粒子在电场和磁场中运动的问题，处理方法不同：电场中粒子做类平抛运动，运用运动的合成与分解．在磁场中做匀速圆周运动，画轨迹，用牛顿定律和圆周运动知识处理．