Question

甲、乙两个行星的质量之比为81：1，两行星的半径之比为36：1．则：
（1）两行星表面的重力加速度之比；
（2）两行星的第一宇宙速度之比．

Answer 1

分析：（1）在行星表面，物体的重力近似等于其受到的万有引力，根据万有引力定律列式求解；
（2）卫星环绕行星表面附近做匀速圆周运动的速度，即为第一宇宙速度，根据万有引力等于向心力，列式求解．

解答：解：（1）在行星表面，质量为m的物体的重力近似等于其受到的万有引力，则
   G

Mm

R2

=mg
则得 g=

GM

R2

故得：

g甲

g乙

=

M甲

M乙

×

R 2 乙

R 2 甲

=

81

1

×

1

362

=

1

16

 
（2）行星表面的环绕速度即为第一宇宙速度，做匀速圆周运动的向心力是万有引力提供的，则
  G

Mm

R2

=

mv12

R

得v₁=

GM R

（1分）
故得：

v甲1

v乙1

=

M甲 M乙 × R乙 R甲

=

81 1 × 1 36

=

3

2

答：
（1）两行星表面的重力加速度之比；为1：16．
（2）两行星的第一宇宙速度之比为3：2．

点评：对于卫星问题，常常根据万有引力等于重力求星球表面的重力加速度，由万有引力等于向心力求其速度．