Question

【题目】一水平放置的横截面积为的两端封闭的玻璃管，其中充满理想气体，现用两个质量同为，厚度可略的活塞将该玻璃管分成、、三段，段、段长度同为，段长度为，两活塞用长为的不可伸长且不会断裂的轻质细绳相连，三段中的气体压强都为，如图所示，现将玻璃管以过其中心且垂直于玻璃管的直线为转轴，以角速度做匀速转动，假设涉及过程为等温过程，并且各段气体内部的压强差异可略去，气体的质量相对于活塞质量可以忽略

（1）角速度时，求最终两活塞均在管中处于力平衡位置时，除去初态以外段气体的可能长度（有效数字保留3位）

（2）角速度时，求最终两活塞均在管中处于力平衡位置时，除去初态以外段气体的可能长度（有效数字保留3位）

Answer 1

【答案】(1) (2) ，

【解析】

（1）假设旋转后轻质细绳保持为松弛状态，如图所示，段气体压强，长度为，段气体压强，长度为，段气体压强，长度为．

左边活塞与转轴距离为，右边活塞与转轴距离为，则对、、三段气体，由理想气体等温过程性质可得，，，其中，．

对转动情况下的活塞运用牛顿第二定律得，．

联合以上方程，并令，，可得

，．

改写为． （*）

当时，，解上式得两个解，．

此时段气体的长度为，

段气体长度为，

段气体长度为．

由以上可知，时，细绳仍保持松弛，段气体的长度可能为．

此时两活塞都在的同一侧．

由于上述方程解中没有出现段气体长度超过的解，所以绳子不会出现紧绷的情况．

（2）仍假设绳松弛，当时，，解（*）式得4个解：

，，，，，，．

对应段气体长度为，，，，，，．

段气体长度为 ，，，，，，．

段气体长度为 ，，，．

由以上的分析可知，前两个解对应绳松弛的状态，即段气体长度为

，，．

此时两个活塞都位于的同一侧．

同时注意到有段长度超过的解，所以绳子可能会出现紧绷的情况，假设绳子处于紧绷状态，活塞受到的拉力为，则活塞的动力学方程变为

，．

由此同样可得．

增加一个几何关系为，即，

由此可得：．

但此时．

其中负号表示绳子对活塞的力不是拉力，而是排斥力，这不满足软绳的要求，所以不会出现绳子紧绷的解．

综上，时，段气体长度可能为，，