Question

在平面直角坐标系的第一象限内存在一有界匀强磁场，该磁场的磁感应强度大小为B=0.1T，方向垂直于xOy平面向里，在坐标原点O处有一正离子放射源，放射出的正离子的比荷都为

q

m

=1×10⁶C/kg，且速度方向与磁场方向垂直．若各离子间的相互作用和离子的重力都可以忽略不计．
（1）如图甲所示，若第一象限存在直角三角形AOC的有界磁场，∠OAC=30°，AO边的长度l=0.3m，正离子从O点沿x轴正方向以某一速度射入，要使离子恰好能从AC边射出，求离子的速度大小及离子在磁场中运动的时间．
（2）如图乙所示，若第一象限存在一未知位置的有界匀强磁场，正离子放射源放射出不同速度的离子，所有正离子入射磁场的方向均沿x轴正方向，且最大速度v_m=4.0×10⁴m/s，为保证所有离子离开磁场的时候，速度方向都沿y轴正方向，试求磁场的最小面积，并在图乙中画出它的形状．

Answer 1

（1）正离子在磁场内做匀速圆周运动，离子刚好从AC边上的D点射出时，如图甲所示，离子轨迹圆的圆心为O′，轨道半径为r，由几何知识得：
r+2r=l
故r=

l

3

=0.1m
粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力
qvB=m

v2

r

联立以上各式的：v=

qBr

m

=1.0×10⁴m/s
若正离子恰好从AC边射出，由几何知识可知，圆心角∠DO′O=120°
又因T=

2πm

qB

所以正离子在磁场中运动的时间t=

θ

360°

T=2.1×10^-5s
（2）所有离子进入磁场后均做逆时针方向的匀速圆周运动，且入射方向沿x轴正方向，离开时沿y轴正方向，速度偏转角为

π

2

，并且所有离子的轨迹圆的圆心都在y轴正半轴上，
所以满足题意的最小磁场区域为图乙所示，
根据牛顿第二定律有：
qv_mB=m

vm2

Rm

得：R_m=

mvm

qB

=0.4m
所以磁场区域最小面积为：
S=

1

4

πR_m²-

1

2

R_m²=0.04（π-2）=0.0456m²
答：（1）离子的速度大小为1.0×10⁴m/s，离子在磁场中运动的时间为2.1×10^-5s．
（2）磁场的最小面积为0.0456m²．