Question

（2012?长宁区二模）水平地面上有一个半径为R的圆形轨道，竖直平面上边中点P离地面高为h，P正下方一点P′位于COA连线上且与轨道圆心O的距离为L（L＞R），如图所示．现从P点水平抛出质量为m的小沙袋，使其击中轨道上的小车（沙袋与小车均视为质点，空气阻力不计）．求：
（1）小车停在轨道B点时（∠AOB=90°），沙袋抛出后经多长时间击中小车？击中时动能多大？
（2）若小车匀速圆周运动顺时针经A点时沙袋抛出，为使沙袋能在B处击中小车，小车的速率v应满足的条件．
（3）若在P、C之间以水平射程为（L+R）的平抛运动轨迹制成一光滑轨道，小沙袋从顶点P由静止下滑击中C点小车时水平速度多大？

Answer 1

分析：（1）沙袋从P点开始做的都是平抛运动，根据在竖直方向上的自由落体运动，可以求得运动的时间，根据动能定理可以求得击中时的动能；
（2）根据等时性可以求得小车运动的时间，但是要注意周期性，再根据圆周运动的速度公式即可求解；
（3）下滑过程沙袋的机械能守恒，根据机械能守恒定律及几何关系即可求解．

解答：解：（1）沙袋从P点被抛出后做平抛运动，设它的落地时间为t，则
h=

1

2

gt2
解得：t=

2h g

抛到B点发生的水平位移为S=

L2+R2

，
所以h=

1

2

g

L2+R2

v02

  
由动能定理得mgh=E_kB-

1

2

mv₀²，
从中解得E_kB=mgh+

mg(L2+R2)

4h

（2）根据时间相等的条件t=

T

4

+nT=

2h g

小车速度v_车=

2πR

T

求得v_车=

1+4n

2

πR

g 2h

  （n=0，1，2，…）  
（3）下滑过程沙袋的机械能守恒，mgh=

1

2

mv_c²，
解得 v_c=

2h g

   
设v_C与水平方向夹角为θ，沙袋的水平速度v_cx=v_ccosθ
由平抛运动规律得tanθ=

vy

vx

=

2y

x

，即cosθ=

x

4y2+x2

所以v_c=（L+R）

2gh 4h2+(L+R)2

答：（1）小车停在轨道B点时（∠AOB=90°），沙袋抛出后经

2h g

击中小车，击中时动能为mgh+

mg(L2+R2)

4h

；
（2）若小车匀速圆周运动顺时针经A点时沙袋抛出，为使沙袋能在B处击中小车，小车的速率v应满足v_车=

1+4n

2

πR

g 2h

  （n=0，1，2，…）；
（3）若在P、C之间以水平射程为（L+R）的平抛运动轨迹制成一光滑轨道，小沙袋从顶点P由静止下滑击中C点小车时水平速度为L+R）

2gh 4h2+(L+R)2

．

点评：本题是对平抛运动规律的考查，在分析第二问的时候，要考虑到小车运动的周期性，小车并一定是经过

1

4

圆周，也可以是经过了多个圆周之后再经过

1

4

圆周后恰好到达B点，这是同学在解题时经常忽略而出错的地方．