Question

如图所示，竖直平面内有光滑且不计电阻的两道金属导轨，宽都为L，上方安装有一个阻值R的定值电阻．两根质量都为m，电阻都为r，完全相同的金属杆靠在导轨上，金属杆与导轨等宽且与导轨接触良好，虚线下方的区域内存在匀强磁场，磁感应强度B．
（1）将金属杆1固定在磁场边界下侧．金属杆2从磁场边界上方静止释放，进入磁场后恰作匀速运动，求金属杆2释放处离开磁场边界的距离h₀．
（2）将金属杆1固定在磁场边界下侧．金属杆2从磁场边界上方h（h＜h₀）高处静止释放，经过一段时间后再次匀速，此过程流过电阻R的电量为q，则此过程整个回路中产生了多少热量？
（3）金属杆2从离开磁场边界h（h＜h₀）高处静止释放，在进入磁场的同时静止释放金属杆1，两金属杆运动了一段时间后都开始了匀速运动，试求出杆2匀速时的速度是多少？并定性画出两杆在磁场中运动的v-t图象（两个电动势分别为ε₁、ε₂不同的电源串联时，电路中总的电动势ε=ε₁+ε₂）．

Answer 1

分析：（1）金属杆2在没进入磁场时，机械能守恒，据此求出金属棒2进入磁场时的速度，由于进入磁场时匀速运动，因此安培力等于重力，据此可解得结果．
（2）当金属棒2从小于h₀处下落时，进入磁场时，先做加速度逐渐减小的加速运动，然后匀速运动，根据流过导体电量求出导体棒2在磁场中下落的距离，然后根据功能关系求解回路中产生的热量．
（3）对两棒受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，可以判断出两棒的运动情况相同，只是初速度不同，写出速度表达式即可进一步得出速度-时间图象．

解答：解：（1）匀速时：mg=FA=

B2L2v

R+2r

           ①
磁场外下落过程，根据机械能守恒有：mgh0=

1

2

mv2     ②
得：h0=

m2g(R+2r)2

2B4L4

故金属杆2释放处离开磁场边界的距离h0=

m2g(R+2r)2

2B4L4

．
（2）设流过电量q的过程中，金属杆1在磁场中下落H过程中有：
q=It=

△Φ

tR

t=

△Φ

R+2r

=

BLH

R+2r

  ③
由动能定理得：
mg(h+H)-Q总= 

1

2

mv2-0     ④
由①③④得：Q总= mgh+

mgq(R+2r)

BL

-

m3g2(R+2r)2

2B4L4

故该过程整个回路中产生热量为：Q总= mgh+

mgq(R+2r)

BL

-

m3g2(R+2r)2

2B4L4

．
（3）因为h＜h₀，所以金属杆1进入磁场后先加速，加速度向下
由于两金属杆流过电流相同，所以F_A相同
对金属杆1有mg-F_A=ma₁
对金属杆2有mg-F_A=ma₂
发现表达式相同，所以两金属杆加速度a₁和a₂始终相同，两金属杆速度差值也始终相同
设匀速时速度分别为v₁、v₂，有
v2-v1=

2gh

-0    ⑤
又：E=BLv₁+BLv₂
都匀速时：mg=FA=

B2L2(v1+v2)

R+2r

   ⑥
联立⑤⑥得：v2=

1

2

(

mg(R+2r)

B2 L2

+

2gh

)
故杆2匀速时的速度是：v2=

1

2

(

mg(R+2r)

B2 L2

+

2gh

)．

两杆在磁场中运动的v-t图象如下所示：

点评：解答这类问题的关键是弄清电路结构，正确分析安培力，然后根据牛顿第二定律或者功能关系求解．