Question

如图所示，倾角为37°的光滑斜面与动摩擦因素u=0.5的水平面平滑相连于B点，将一劲度系数k=500N/m的轻质弹簧的一端固定在光滑斜面的固定板上，固定板中央留有小孔，平行于斜面的细线穿过固定板的小孔和弹簧后跨过定滑轮将小物块和大物块连接，小物块与弹簧接触但不相连，小物块质量m=5kg，大物块质量M=6kg，水平轨道上固定一相同的轻质弹簧，自然状态下，弹簧右端位于C点，初始时刻两物块静止，小物块位于A点．已知l_AB=0.1m，l_BC=0.06m，重力加速度g取10m/s²．现小球与细线突然断开，求：
（1）细线未断时，轻质弹簧的形变量x₁；
（2）在弹簧弹性限度内，物块与水平面上的弹簧接触并挤压弹簧，当该弹簧获得与斜面上的弹簧在细线刚断开时相同的弹性势能时，小物块的速度v；
（3）弹簧弹性势能E_p与形变量x满足关系Ep=

1

2

kx2，试确定小物块的最终位置．

Answer 1

（1）细线未断时，大球平衡：T=Mg
小球平衡：T=mgsin37°+kx₁
解得：x₁=

3mg

5k

=

3×5×10

5×500

=0.06m
（2）物块与BC平面上的弹簧接触获得与初始细线断开时相同的弹性势能时，弹簧压缩0.06m．由A至水平弹簧被压缩0.06m的过程中，由动能定理：mglABsin370-umg(lBC+x1)=

1

2

mv2-0
解得：v²=2mgl_ABsin37°-μmg（l_BC+x₁）=5×10（2×0.1×0.6-0.5×10×0.06-0.5×10×0.06）=0；
故v=0．
（3）弹簧弹力F=k△x₁=500×0.06=30N
最大静摩擦力f=umg=0.5×5×10=25N
因为F＞f故物体会向右运动
此时弹簧弹性势能E_P1=

1

2

kx₁²=

1

2

×500×（0.06）²=0.9J；
若物体能够向右运动到C点W_f=umgx₁=0.5×5×0.06=1.5J＞E_p1-0
故物体在到达C点前就停止运动．设该点距离C点x₂．
由动能定理：W_T-umg（x₁-x₂）=0
又：WT=Ep1-Ep2=

1

2

k

x

21

-

1

2

k

x

22

代入数据解得：x₂=0.04m
x₂′=0.06m；
答：（1）轻质弹簧的形变量x₁为0.06m；
（2）小物块的速度v为0；
（3）确定小物块的最终位置距离C点0.06m．