Question

某行星的一颗小卫星，在半径是R的圆周轨道上绕该行星做匀速圆周运动，运动的周期是T，已知万有引力常量G．求：
（1）卫星绕行星运动的线速度大小v；
（2）该行星的质量M．
（3）若该卫星在不受除引力以外任何力的作用情况下自动分为两部分，其质量之比为1：2问：这两部分各自运行的速率之比是多少？运行的轨道半径之比是多少？（写清原因）

Answer 1

分析：（1）根据线速度的定义与周期的含义直接求解即可；
（2）根据万有引力提供向心力，求中心天体的质量M；
（3）卫星在分离前后只受行星引力作用而不受其它力作用，故卫星分离前后速率不变，轨道半径相同．

解答：解：（1）线速度等于卫星转过的弧长与时间的比值，即：
v=

l

t

=

2πR

T

（2）设小卫星的质量为m，根据万有引力提供卫星圆周运动向心力有：
G

mM

R2

=mR(

2π

T

)2
可得行星的质量M=

4π2R3

GT2

（3）因分离过程中卫星不受其它力的作用，分开前后的速率不变，故有：

v1

v2

=

1

1

又因为分开前后卫星的速率保持不变，故其轨道半径亦保持不变，即有：
r₁：r₂=1：1
答：（1）卫星绕行的线速度v=

2πR

T

（2）该行星的质量M=

4π2R3

GT2

（3）分开后卫星的速率之比为

v1

v2

=

1

1

，轨道半径之比为r₁：r₂=1：1

点评：掌握线速度与周期的关系，能根据万有引力提供圆周运动向心力是解决本题的关键．