Question

（2009?宜昌模拟）如图（a）所示，M、N为中心开有小孔的平行板电容器的两极板，相距D=1m，其右侧为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=l×10^-3T，磁场区域足够长，宽为d=0.01m；在极板M、N之间加有如图（b）所示交变电压，M板电势高于N板时电压为正．现有带正电粒子不断从极板M中央小孔处射入电容器，粒子的初速度可忽略不计；其荷质比q/m=2×10¹¹C/kg，重力不计，试求：
（1）t=0时进入电容器内的粒子经多长时间才能进入磁场？
（2）t=0时进入电容器内的粒子射出磁场时向上偏移的距离．
（3）在交变电压第一个周期内，哪些时刻进入电容器内的粒子能从磁场的右侧射出来？

Answer 1

分析：根据牛顿第二定律求粒子在电容器中的加速度，然后由运动学公式求出时间；
根据动能定理求粒子到达磁场时的速度，然后由牛顿第二定律求出磁场中圆周运动的半径，结合几何知识求偏移的距离L；
恰好与右边界相切为从右边界射出的临界情况，结合动能定理和运动学公式计算判断．

解答：解：（1）粒子进入电容器，其加速度a=

U

D

?

q

m

…①
假设能在

T

2

时间以内穿过电容器，则有

1

2

at²=D…②
由以上两式并代入数据得：t=

2

2

×10-6s
t＜

T

2

符合假设，故粒子经7.1×10^-6s到达磁场．
（2）设粒子到达磁场时的速率为v
由动能定理得：qU=

1

2

mv2…③
粒子进入磁场在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，其半径为R，有
qvB=

mv2

R

…④
粒子运动轨迹如图，由几何知识有：
（R-L）²+d²=R²…⑤
根据③④⑤式得粒子向上偏移的距离
L=(

2

-1)×10 -2m=4.1×10^-3m…⑥
（3）如果粒子在磁场中的轨迹恰好与右边界相切，则半径R₀=d，对应速度为v₀
设在电场中先加速位移x，后减速位移D-x
由动能定理：

qU

D

x-

qU

D

(D-x)=

1

2

mv

2 0

…⑦
加速位移x需要时间为t，x=

1

2

at2…⑧
由④⑥⑦⑧得　t=

150

2

×10-7s　…⑨
故需在0-（

T

2

-t）内进入电容器，即在0-3.9×10^-7s进入．
答：（1）t=0时进入电容器内的粒子经时间t=

2

2

×10-6s才能进入磁场；
（2）t=0时进入电容器内的粒子射出磁场时向上偏移的距离4.1×10^-3m．
（3）在交变电压第一个周期内，在0-3.9×10^-7s进入进入电容器内的粒子能从磁场的右侧射出来．

点评：本题主要考查了电子在电场和磁场中运动问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况和运动情况，画出粒子运动的轨迹，并结合几何关系求解，难度较大．