Question

如图所示，竖直平面内有足够长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L=0.5m，上方连接一个阻值R=1Ω的定值电阻，虚线下方的区域内存在垂直纸面向里的磁感应强度B=2T的匀强磁场．完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上，金属杆长与导轨等宽且与导轨接触良好，电阻均为r=0.5Ω．将金属杆1固定在磁场的上边缘（仍在此磁场内），金属杆2从磁场边界上方h₀=0.8m处由静止释放，进入磁场后恰作匀速运动．（g取10m/s²）求：（1）金属杆的质量m；
（2）若金属杆2从磁场边界上方h₁=0.2m处由静止释放，进入磁场下落一段距离后做匀速运动．在金属杆2加速的过程中整个回路产生了1.4J的电热．求此过程中流过电阻R的电荷量q；
（3）若金属杆2仍然从磁场边界上方h₁=0.2m处由静止释放，在金属杆2进入磁场的同时释放金属杆1，试求两根金属杆各自的最大速度．

Answer 1

分析：（1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动，由运动学公式求出进入磁场时的速度v，进入磁场后做匀速运动，重力与安培力平衡，E=BLv，I=

E

2r+R

、F=BIL，及平衡条件可求得m．
（2）金属杆2进入磁场经过一段时间后开始匀速运动，速度大小仍等于v．根据能量守恒求出h₂，由

.

E

=

△Φ

△t

=

BLh2

t2

，

.

I

=

. E

2r+R

，q=

.

I

?t2求出电量q．
（3）释放金属杆1后，两杆受力情况相同，且都向下加速运动，合力等于零时速度最大．根据平衡条件得到两杆速度之和．由于两个金属杆任何时刻受力情况相同，任何时刻两者量也相的加速度也都相同，在相同时间内速度的增同，根据速度增量相同，得到速度的关系，联立求解两杆的最大速度．

解答：解：（1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动，进入磁场的速度
v_m=

2gh0

=4m/s
金属杆2进入磁场后切割磁感线，回路中产生感应电流，有
感应电动势E=BLv_m，感应电流  I=

E

2r+R

金属杆恰做匀速运动，受安培力和重力平衡：mg=BIL
解出m=

B2L2vm

(2r+R)g

=

22×0.52×4

(2×0.5+1)×10

kg=0.2kg                    
（2）金属杆2自由下落h₁，进入磁场，做加速运动，设金属杆2在磁场内下降h₂后达到匀速运动，在加速的过程中，部分机械能转化为电能产生电热，有
mg（h₁+h₂）=

1

2

m

v

2 m

+Q
可得         h₂=

m v 2 m +2Q

2mg

-h₁=1.3m
金属杆2进入磁场到匀速运动的过程中

.

E

=

△?

△t

=

BLh2

△t

，

.

I

=

. E

(2r+R)

解出流过电阻的电量　　q=

.

I

?△t=

BLh2

(2r+R)

=

2×0.5×1.3

(2×0.5+1)

C=0.65C      　 
（3）金属杆2刚进入磁场时的速度v=

2gh1

=

2×10×0.2

m/s=2m/s
金属杆2进入磁场同时释放金属杆1后，回路中有感应电流，两杆都受安培力和重力，且受力情况相同，都向下做加速运动，随速度增大，感应电流增大，安培力增大，直到安培力和重力相等时，速度达到最大．
金属杆1和2产生的感应电动势为E₁=BLv₁，E₂=BLv₂
感应电流为　I=

E1+E2

2r+R

达到最大速度时杆的重力等于安培力
mg=BIL
整理得到：v₁+v₂=

mg(2r+R)

B2L2

代入数据得v₁+v₂=4 m/s…①
因为两个金属杆任何时刻受力情况相同，因此任何时刻两者的加速度也都相同，在相同时间内速度的增量也必相同，即：v₁-0=v₂-v
代入数据得v₂=v₁+2…②
①②两式联立求出：v₁=1m/s，v₂=3m/s            
答：（1）金属杆2的质量m为0.2kg．
（2）流过电阻R的电量q为0.65C．
（3）两根金属杆各自的最大速度分别是1m/s和3m/s．

点评：本题是电磁感应与力学知识的综合，第3问关键是抓住两杆的加速度相同，任何时刻速度的增量相同这一隐含的条件分析两杆的速度关系．