Question

物理学中库仑定律和万有引力定律有相似的表达形式．对带异种电荷的两粒子组成的系统而言，若定义相距无穷远处电势能为零，则相距为r时系统的电势能可以表示为E p=-k

Q1Q2

r

．
（1）若地球质量为m₁，某人造地球卫星质量为m₂，也定义相距无穷远处引力势能为零，写出当地心与卫星相距R时该系统引力势能表达式．（地球可看作均匀球体，卫星可看成质点）
（2）今有一颗卫星贴着地球表面绕行时速度大小为v=7.90km/s，当该卫星在离地面高度为h=3R_地处绕行时，绕行速度v为多大？（R_地为地球半径）
（3）若在离地面高度为3R_地处绕行的卫星质量为1t，则至少需要对该卫星补充多大的能量才能使其脱离地球的束缚？

Answer 1

（1）由类比可知，该系统引力势能表达式为：EP=-G

m1m2

R

        
（2）由万有引力提供向心力　G

m1m2

R2

=m2

v2

R

                     
得v=

Gm1 R

，
则有，

v

v′

=

R′ R

                      
上式中R′=（R_地+h）=4R_地                                 
因R=R_地            
又v=7.9km/s
解得 　v′=3.95km/s                                       
（3）卫星在该处的动能：
 EK=

1

2

mv2=

1

2

×1×103×（3.95×10³）²J=7.8×10⁹J         
由   EK=

1

2

m2v2=G

m1m2

2R

系统的势能：EP=-G

m1m2

R

=-2EK                        
得系统的机械能：E_机=E_K+E_P=-E_K=-7.8×10⁹J          
则需要给卫星补充的能量：E_补=-E_机=7.8×10⁹J
答：（1）当地心与卫星相距R时该系统引力势能表达式为：EP=-G

m1m2

R

；  
（2）该卫星在离地面高度为h=3R_地处绕行时，绕行速度为3.95km/s；
（3）至少需要对该卫星补充7.8×10⁹J的能量才能使其脱离地球的束缚．