Question

如图所示，水平放置的平行金属板A和B的间距为d，极板长为2d；金属板右侧用三块挡板MN、NP、PM围成一个等腰直角三角形区域，顶角NMP为直角，MN挡板上的中点处有一个小孔K恰好位于B板的右端，已知水平挡板NP的长度为

.

NP

=2

2

a．由质量为m、带电量为+q的同种粒子组成的粒子束，以速度v₀从金属板A、B左端沿紧贴板A但不接触板A处射入，不计粒子所受的重力，若在A、B板间加一恒定电压，使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K．求：
（1）所施加的恒定电压的大小；
（2）现允许在挡板围成的三角形区域内，加一垂直纸面的匀强磁场，要使从小孔K飞入的粒子经过磁场偏转后能直接（不与其他挡板碰撞）打到挡板MP上，求所加磁场的方向和磁感应强度的范围．
（3）在第（2）问的前提下，以M为原点，沿MP方向建立x轴，求打到挡板MP上不同位置（用坐标x表示）的粒子在磁场中的运动时间．

Answer 1

分析：（1）、由题意可分析出带电粒子在两金属板间竖直方向的位移为d，水平方向的位移为2d，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，运用类平抛运动的知识可求出所施加的恒定电压．
（2）、根据题意，首先运用速度的合成求出带电粒子进入三角形区域时的速度，由偏转方向和左手定则可得知磁场的方向；再找出两个临界半径，一是带电粒子偏转轨道与NP相切时的轨道半径，二是正好达到M点时的轨道半径，从而确定轨道半径的范围，由带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力公式（qvB=m

v2

R

），即可求出所加磁场的磁感应强度范围．
（3）、由射入磁场时的速度方向和达到MP时的速度方向确定圆心，由几何关系找出半径R与x的关系式，以及在磁场中运动的偏转角，再通过运动时间、偏转角和周期T的关系（t=

a

2π

T）可求出运动时间．

解答：解：
（1）由于带电粒子做类平抛运动，则有：
2d=v₀t…①
d=

1

2

qU0

md

t2…②
①②联立得：U0=

m v 2 0

2q

…③
（2）设粒子在进入K时，竖直方向的分速度为v_y，则有：
vy=at=

qU0

md

?

2d

v0

=v0…④
tanθ=

vy

v0

=1
得：v=

v 2 0 + v 2 y

 =

2

v0…⑤
可知当θ=45°时，即粒子垂直MN板射入时，要使粒子直接打到MP板上，根据左手定则，可知所加磁场的方向垂直纸面向内．如图所示，当粒子进入磁场后做匀速圆周运动，偏转半径最大时恰好与NP相切；偏转半径最小时，KM为运动圆周的直径，设最大半径为R_M，则由几何关系可知，△NMP与△NQO₁相似，则有：

NO1

NP

=

O1Q

MP

a+Rm

2 2 a

=

Rm

2a

得：Rm=(

2

+1)a…⑥
因此，粒子做圆周运动的半径范围为：

a

2

＜R＜(

2

+1)a…⑦
由于粒子在磁场中做圆周运动，故洛伦兹力提供向心力，即：
qvB=m

v2

R

…⑧
联立⑤⑥⑦⑧式可得所加磁场的磁感应强度范围为：

(2- 2 )mv0

qa

 ＜B＜

2 2 mv0

qa

…⑨
（3）设粒子打到MP时，坐标为x，设偏转角为α，则由几何关系可得：
（R-a）²+x²=R²，sin α=

x

R

…⑩
对应粒子在磁场中的运动时间为：t=

a

2π

T 而T=

2πm

qB

…（11）
由⑧⑩（11）三式可得：t=

(x2+a2)arcsin  2ax x2+a2

2 2 av0

…（12）
经分析（12）式只适用于a＜

π

2

时
当a＞

π

2

时，t=

(x2+a2)(π-arcsin 2ax x2+a2 )

2 2 av0

答：（1）所施加的恒定电压的大小为U0=

m v 2 0

2q

（2）所加磁场的方向为垂直纸面向内，磁感应强度的范围为

(2- 2 )mv0

qa

＜B＜

2 2 mv0

qa

（3）、当偏转角a＜

π

2

时，时间为t=

(x2+a2)arcsin 2ax x2+a2

2 2 av0

；当a＞

π

2

时，时间为t=

(x2+a2)(π-arcsin 2ax x2+a2 )

2 2 av0

点评：带电粒子在电场中的运动，综合了静电场和力学的知识，分析方法和力学的分析方法基本相同．先分析受力情况再分析运动状态和运动过程（平衡、加速、减速，直线或曲线），然后选用恰当的规律解题．解决这类问题的基本方法有两种，第一种利用力和运动的观点，选用牛顿第二定律和运动学公式求解；第二种利用能量转化的观点，选用动能定理和功能关系求解．
本题将有界磁场变为三角形磁场，仍然突出考查单一物体的多过程问题．带电粒子在电场、磁场中的运动，涉及到电场、磁场的基本概念和规律，与力学中的牛顿运动定律和运动学公式、动能定理、平抛运动规律、匀速圆周运动规律等联系密切，综合性大，能充分考查考生的综合分析能力和应用数学处理物理问题的能力．解此类问题的关键是做出带电粒子运动的轨迹图，抓住物理过程变化的转折点（列出对应的状态方程），找出粒子运动的半径与磁场边界的约束关系．