数列(1)参考答案

二参考答案

一、填空题：

1．答案：③④　解析：如果数列{a_n}的第n项a_n与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，-1,1，-1,1，-1，…的通项公式可以是a_n=(-1)ⁿ⁺¹，也可以是a_n=cos(n-1)p，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，-1与数列-1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．

2．答案：1 024　解析：由题意知，a₂=a，a₃=a₁a₂=a⇒a₁=2，a₂=4，以此类推可得a₁₀=2¹⁰=1 024.

3. 答案：　解析：∵a₁=3，a_n=a_n-1+(n≥2)，∴a₂=a₁+=3+ =，a₃=a₂+=+=+=.　　　 ∵b_n=，∴b₃= = .

4. 答案：n²-n+1　解析：观察图中5个图形点的个数分别为1,1´2+1,2´3+1，3´4+1,4´5+1，故第n个图中点的个数为(n-1)´n+1=n²-n+1.

5. 答案：k＞－3　 解析：由a_n+1＞a_n得(n+1)²+k(n+1)+2＞n²+kn+2，∴k＞－(2n+1)，∴k＞－3.

6. 答案：28　 解析：∵a₃+a₄+a₅＝12，∴a₄＝4.∴a₁+a₂+…+a₇＝＝7a₄＝28.

7. 答案：2　　 解析：∵S_n＝，∴＝，由－＝1得，－＝1，即a₃－a₂＝2，∴数列{a_n}的公差为2.

8. 答案：　解析：由已知得：(a+log₄3)²=(a+log₂3)(a+log₁₆3)

∴2alog₄3+(log₄3)²=(log₂3+log₁₆3)a+log₂3log₁₆3，∴2alog₄3+²=(log₂3+log₂3)a+(log₂3)²，

∴2a×log₂3=a，∴a=0，∴公比为==.

9. 答案：　　 解析：易知公比q≠1，由9S₃＝S₆得9＝，解得q＝2，

∴{}是首项为1，公比为的等比数列，∴其前5项和为＝.

10. 答案：6　 解析：设等差数列{a_n}的公差为d，则由已知结合通项公式得<-1，即(a₁+5d)(2a₁+9d)<0，所以(a₁+5d)×<0；分公差d的正负讨论，得：当d>0时，此时a₅=a₁+4d<a₁+d<0，a₆=a₁+5d>0，故数列{|a_n|}的最小项只能是|a₅|或|a₆|，而|a₆|-|a₅|=(a₁+5d)-[-(a₁+4d)]=2a₁+9d<0，故所求最小项是|a₆|，即第6项；当d<0时，同样讨论可得．

11.答案：　 解析：由已知条件a_m+2+a_m+1＝6a_m可得a₂q^m+a₂q^m－1＝6a₂q^m－2，即得q²+q－6＝0，解得q＝2或q＝－3(舍去)，则数列{a_n}的前四项的和为+1+2+4＝.

12.答案：(－∞，－2]∪[2，+∞)　　 解析：∵S₅S₆+15＝0，∴(5a₁+10d)(6a₁+15d)+15＝0，即

2a+9da₁+10d²+1＝0.故(4a₁+9d)²＝d²－8，∴d²≥8，则d的取值范围是(－∞，－2]∪[2，+∞)．

13. 答案：　　 解析：设三边a，b，c成等比数列，且a<b<c，

则b²＝ac，且c²＝a²+b²，∴ac＝c²－a²，即＝1－.

∵sin A＝，∴sin²A+sin A－1＝0，解得sin A＝.

14．答案：　　 解析：∵a₂＝2，a₁+a₃＝5，∴+2q＝5，∵{a_n}递减，∴q＝，a₁＝4，

∵数列{a_na_n+1}是以a₁a₂为首项，q²为公比的等比数列，

∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1＝＝＝，

而是递增数列，≤1－ⁿ<1，∴8≤<.

二、解答题：

15．解：∵a₁＝2，a_n+1＝，∴a₂＝－3，a₃＝－，a₄＝，a₅＝2，

∴数列{a_n}的周期为4，且a₁a₂a₃a₄＝1，∴a₁a₂a₃a₄…a₂₀₁₁a₂₀₁₂＝1.

16．解：(1)设等差数列{a_n}的公差为d，首项为a₁，

∵a₄＝6，a₆＝10，∴解得

∴数列{a_n}的通项公式a_n＝a₁+(n－1)d＝2n－2.

(2)设各项均为正数的等比数列{b_n}的公比为q(q>0)．

∵a_n＝2n－2，∴a₃＝4，

解得q＝2，b₁＝1或(舍去)

∴T_n＝＝＝2ⁿ－1.

17．解： (1)由a_n+2－2a_n+1+a_n＝2n－6得：(a_n+2－a_n+1)－(a_n+1－a_n)＝2n－6，

∴b_n+1－b_n＝2n－6.

当n≥2时，b_n－b_n－1＝2(n－1)－6，b_n－1－b_n－2＝2(n－2)－6，

b₃－b₂＝2×2－6，b₂－b₁＝2×1－6，

累加，得b_n－b₁＝2(1+2+…+n－1)－6(n－1)＝n(n－1)－6n+6＝n²－7n+6.

又∵b₁＝a₂－a₁＝－14，∴b_n＝n²－7n－8(n≥2)，

当n＝1时，b₁也适合此式，故b_n＝n²－7n－8(n∈N^*)．

(2)由b_n＝(n－8)(n+1)得，a_n+1－a_n＝(n－8)(n+1)，

∴当n<8时，a_n+1<a_n；当n＝8时，a₉＝a₈；

当n>8时，a_n+1>a_n.

∴当n＝8或n＝9时，a_n的值最小．

18．解：(1)a₁₆+a₁₇+a₁₈＝a₉＝－18，∴a₁₇＝－6，又a₉＝－18，∴d＝＝.

首项a₁＝a₉－8d＝－30，∴a_n＝n－.

设前n项和为S_n最小，则，即，∴n＝20或n＝21.

这表明当n＝20或21时，S_n取最小值，最小值为S₂₀＝S₂₁＝－315.

(2)由a_n＝n－≤0⇒n≤21，∴当n≤21时，T_n＝－S_n＝(41n－n²)，

当n＞21时，T_n＝－a₁－a₂－…－a₂₁+a₂₂+…+a_n＝S_n－2S₂₁＝(n²－41n)+630.

19．解： (1)∵a_n+1＝3a_n－2a_n－1(n≥2，n∈N^*)，∴(a_n+1－a_n)＝2(a_n－a_n－1)(n≥2，n∈N^*)．

∵a₁＝2，a₂＝4，∴a₂－a₁＝2≠0，∴a_n－a_n－1≠0(n≥2，n∈N^*)．

故数列{a_n+1－a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a_n+1－a_n＝(a₂－a₁)2^n－1＝2ⁿ，

∴a_n＝(a_n－a_n－1)+(a_n－1－a_n－2)+(a_n－2－a_n－3)+…+(a₂－a₁)+a₁

＝2^n－1+2^n－2+2^n－3+…+2¹+2＝+2＝2ⁿ(n≥2，n∈N^*)．

又a₁＝2满足上式，∴a_n＝2ⁿ(n∈N^*)．

(2)由(1)知b_n＝＝2＝2＝2－(n∈N^*)，

∴S_n＝2n－＝2n－＝2n－2＝2n－2+．

20．解：(1)依题意，S_n+1－S_n＝a_n+1＝S_n+3ⁿ，

即S_n+1＝2S_n+3ⁿ，

∴S_n+1－3ⁿ⁺¹＝2(S_n－3ⁿ)，即b_n+1＝2b_n.

∴数列{b_n}是首项b₁＝a－3，公比为2的等比数列．

∴所求通项公式为b_n＝S_n－3ⁿ＝(a－3)2^n－1，n∈N^*①

(2)由①知S_n＝3ⁿ+(a－3)2^n－1，n∈N^*，

于是，当n≥2时，

a_n＝S_n－S_n－1＝3ⁿ+(a－3)2^n－1－3^n－1－(a－3)2^n－2＝2×3^n－1+(a－3)2^n－2，

a_n+1－a_n＝4×3^n－1+(a－3)2^n－2＝2^n－2×，

当n≥2时，∵a_n+1≥a_n，∴12×^n－2+a－3≥0，∴a≥－9.

又a₂＝a₁+3>a₁，综上，所求a的取值范围是[－9，+∞)．