1、若α、β终边关于y轴对称,则下列等式成立的是( )
A、sinα=sinβ B、cosα=cosβ C、tanα=tanβ D、cotα=cotβ
2、已知一物体在共点力F1=(lg2,lg2),F2=(lg5,lg2)的作用下产生位移S=(2lg5,1),则共点力对物体做的功W为( )
A、lg2 B、lg5 C、1 D、2
3、△ABC中,3sinA+4cosB=6,3coA+4sinB=1,则∠C的大小是( )
A、 B、 C、或 D、或
4、已知的分布列为
|
-1 |
0 |
1 |
P |
|
|
|
且设,则的期望值是( )
A、 B、- C、1 D、
5、等差数列{an}中,S9=-36,S13=-104,等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,则b6=( )
A、 B、- C、± D、无法确定
6、若直线2ax-by+2=0(a,b∈R)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长,则ab的取值范围是( )
A、(-∞,] B、(0,] C、(0,) D、(-∞,)
7、如果一个平面与一个正方体的十二条棱所在的直线都成相等的角,记作θ,那么sinθ的值为( )
A、 B、 C、 D、1
8、若动点P、Q是椭圆9x2+16y2=144上的两点,O是其中心,若,则中心O到统PQ的距离OH必为( )
A、 B、 C、 D、
9、函数f(x)的反函数图像向左平移1个单位,得到曲线C,函数g(x)的图象与曲线C关于y=x成轴对称,那么g(x)等于( )
A、g(x)=f(x)-1 B、g(x)=f(x+1)
C、g(x)=f(x)+1 D、g(x)=f(x-1)
10、将两邻边长之比为3:4的长方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角,若四点A、B、C、D的外接球的球面面积为100π,则B、D两点间的球面距离为( )
A、 B、 C、 D、3
11、已知集合A={12,14,16,18,20},B={11,13,15,17,19},在A中任取一个元素用ai(i=1,2,3,4,5)表示,在B中任取一个元素用bj(j=1,2,3,4,5)表示,则所取两数满足ai>bI的概率为( )
A、 B、 C、 D、
12、生物学指出,生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约10%-20%的能量流动到下一个营养级,在H1→H2→H3→4→H5→H6,这条生物链中,若能使H6获得10J的热量,则需要H1最多可提供的能量是( )
A、104kJ B、105kJ C、106kJ D、107kJ
13、若把抛物线y=2x2绕其顶点逆时针方向转动90°,则转动后所得的抛物线的焦点坐标为 。
14、设 ABCD的对角线交于点O,且,,则= 。
15、某校准备召开高中毕业生代表会,把6个代表名额分配给高三年级的3个班,每班至少一个名额,不同的分配方案共有 种。
16、已知函数f(n)=(n∈N),则= 。
17、已知向量=3i-4j,=6i-3j,=(5-m)I-(3+m)j,其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量。
①若A、B、C能构成三角形,求实数m应满足的条件;
②若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,求实数m的值。
18、已知数列{an}的前n项之和为Sn,且Sn=a(an-1)(a≠0,a≠1,n∈Nn)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}=2n+b(b是常数),且a1=b1,a2>b2,求a的取值范围。
19、如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC为正三角形,D、E分别是BC、CA的中点。
(1)证明:平面PBE⊥平面PAC;
(2)如何在BC上找一点F,使AD//平面PEF?并说明理由;
(3)若PA=AB=2,对于(2)中的点F,求三棱锥B-PEF的体积。
20、某种细菌两小时分裂一次,(每一个细菌分裂成两个,分裂所需的时间忽略不计),研究开始时有两个细菌,在研究过程中不断进行分裂,细菌总数y是研究时间t的函数,记作y=f(t)
(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域;
(2)在所给坐标系中画出y=f(t);(0≤t<6)的图象;
(3)写出研究进行到n小时(n≤0,n∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n的式子表示)。
21、已知椭圆C:,它的离心率为,直线:y=x+2,它与以原点为圆心,以C1的短半轴长为半径的圆相切。
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F,左准线为。动直线垂直于,垂足为P,线段PF的垂直平分线交交于点M。点M的轨迹C2与x轴交于点Q,若R、S两点在C2上,且满足QR⊥RS,求|QS|的取值范围。
22、设函数f(x)=sin2x+2a.cosx+a3-a(0≤x≤)
(1)求f(x)的最大值M(a)。
(2)当a∈[-1,1]时,求函数M(a)的最值。
[答案]
1、A 2、D 3、A 4、A 5、C 6、A 7、B 8、C 9、A 10、C 11、B 12、C
13、(,0) 14、 15、10 16、1
17、①当m≠时,A、B、C三点能构成三角形;
②当m=时,三角形ABC为直角三角形,且∠A=90°。
18、(1) (2)
19、(1) ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BE
又∵△ABC是正三角形,且E为AC的中点,∴BE⊥CA
又PA,∴BE⊥平面PAC
∵BE平面PBE,∴平面PBE⊥平面PAC。
(2)取CD的中点F,则点F即为所求。
∵E、F分别为CA、CD的中点,∴EF//AD
又EF平面PEF,AD平面PEF,∴AD//平面PEF。
(3)
20、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0,+∞);值域为{y|y=2n,n∈N*}
(2)
(3)y=
21、(1)由,得
∵直线:y=x+2与圆x2+y2=b2相切,∴,解得,则a2=3。
故所求椭圆C1的方程为。
(2)椭圆C1的左焦点为F(-1,0),左准线为:x=-3。
如图,连结MF,则|MF|=|MP|,∴点M的轨迹C2是以F为焦点,为准线的抛物线,其方程为y2=4(x+2),故Q(-2,0)。设、,由QR⊥RS得
化简得y2=-(y1+)
∴y22=y12+≥2×16+32=64
∵|QS|2=[(-2)+2]2+y22=
∴当y22=64时,|QS|min=.
故|QS|的取值范围是[8,+∞)。
22、解:(1)由f(x)=-(cosx-a)2+a3+a2-a+1
令t=cosx,, 0≤t≤1
则g(t)=-(t-a)2+a3+a2-a+1
10若a<0,则当t=0时,M(a)=g(0)=a3-a+1
20若0≤a≤1,则当t=a时,M(a)=g(a)=a3+a2-a+1
30若a>1,则当t=1时,M(a)=g(1)=a3+a
∴M(a)=
(2)当-1≤a<0时,M(a)=a3-a+1
∴M’(a)=3a2-1=3(a+)(a-)
令M’(a)=0,得a1=-,或a2=(舍去)
且M(-)=(-)3-(-)+1=+1
当0≤a<1时,M(a)=a3+a2-a+1
∴M’(a)=3a2+2a-1=(3a-1)(a+1)
令M’(a)=0,得a3=,或a4=-1(舍去)
且M()=()3+()2-+1=
列表如下
a |
-1 |
(1,-) |
- |
(-,0) |
0 |
(0,) |
|
(,1) |
1 |
M’(a) |
|
+ |
|
|
|
- |
|
+ |
|
M(a) |
1 |
|
+1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
从上表可知:
当a=1时,M(a)取得最大值2
当a=时,M(a)取得最小值。