1.在边长为1的等边△ABC中,若=a,=b,=c,则a.b+b.c+c.a等于
A. B .- C.3 D.0
2.已知 =(x+,y), =(x -,y),且||+||=6,则|2x-3y-12|的最大值为
A.12+6 B.12-6 C.6 D.12
3.下列五个命题:
(1)所有的单位向量相等;
(2)长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量;
(3)若a、b满足|a|>|b|且a、b同向,则a>b;
(4)由于零向量的方向不确定,故0与任何向量不平行;
(5)对于任何向量a、b,必有| a +b|≤| a |+|b|.
其中正确命题的序号为
A.(1),(2),(3) B.(5) C.(3),(5) A.(1),(5)
4.已知向量a与b的夹角为,如果向量2 a +k b与3 a -2b共线,则实数的k的值为
A. B.- C. D.-
5.设四边形ABCD中,有=,且||=||,则这个四边形是
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
6.在△ABC中G为边BC中线AH上一点,若AH=2,则.(+)的
A.最大值为-2 B.最大值为2
C.最小值为-2 D.最小值为2
7.已知P1(2,-1),P2(0,5),且点P在的延长线上,||=2||,则点P的坐标为
A.(-2,11) B.(,3) C.(,3) D.(2,-7)
8.已知△ABC三顶点A,B,C的坐标分别为(a1,a2),(b1,b2),(c1,c2),在边BC、CA、AB上分别取D、E、F使之满足:||∶||=||∶||=||∶||=m∶n,则
A.△DEF与△ABC的重心重合 B.△DEF与△ABC的外心重合
C.△DEF与△ABC的内心重合 D.△DEF与△ABC的垂心重合
第Ⅱ卷(非选择题,共60分)
9.已知点M是△ABC的重心,则++= .
10.已知点A(1,-2),若向量与a ={2,3}同向,| |=2,则点B的坐标为 .
11.已知△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若该三角形有两个解,则x的取值范围是 .
12.已知a =(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π),且|λa+μb|=|μa-λb|(λμ≠0),则β-α= .
13. (本小题满分12分)
设e1,e2是两个垂直的单位向量,且a= -(2 e1 + e2),b= e1-λe2.
(1)若a∥b,求λ的值;(2)若a⊥b,求λ的值.
14.(本小题满分12分)
如图,在△OAB中,点C是以A为中心的点B的对称点,点D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a和b表示向量、;
(2)若=λ,求实数λ的值.
15.(本小题满分12分)
(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b).(2a+b)=61,求a与b的夹角θ;
(2) =(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使⊥,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
16.(本小题满分14分)
已知点H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足.=0,= -.
(Ⅰ)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C;
(Ⅱ)过点T(-1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点,若在x轴上存在一点E(x0,0),使得△ABE是等边三角形,求x0的值.
高考数学复习向量练习试题 第Ⅰ卷(选择题,共40分)参考答案
参考答案
1.B 依题意,得a.b+b.c +c.a=3|a|2.cos120°= -,选B.
2.A 显然有P(x,y),A(-,0),B(,0).由| |+||=6知,动点P的轨迹为以A(-,0),B(,0)为焦点,长轴长为6的椭圆,其方程为+=1,令x=
3cosθ,y=2sinθ,则|2x-3y-12|=|6cos(θ+)-12|,当cos(θ+)=-1时|2x-3y-12|取最大值为12+6.
3.B 单位向量可能方向不同,所以不一定相等,(1)不正确;只要方向相同或相反的向
量都是共线向量,(2)不正确;向量是不能比较大小的,(3)不正确;按人教版课本规定零向量与任意向量是平行向量,(4)不正确;(5)中为向量模的不等式,正确,故选B.
4.B 2a+k b与3a-2b共线,存在实数t,使2a+k b= t(3a-2b),∵a与b的夹角为,则a与b不共线.
∴2=3t,k= -2t,解得k= -,选B.
点评:本题考查向量的夹角的概念、夹角的求法、向量共线的条件.利用方程思想是求参数的主要方法.
5.C∵=,∴∥且||≠||,即四边形ABCD为梯形,又||=| |,∴四边形ABCD为等腰梯形.
6.C.(+)=.(+++)=2.= -2||.||≥-2()2= -2,故选C.
7.A由定比分点公式可求得P(-2,11),选A.
8.A由题意有=,即点D分有向线段所成的比为λ=,设点D的坐标为(x,y),则由定比分点坐标公式有
∴D(,).
同理可求E(,),F(,).
设△DEF的重心坐标为(x′,y′),则由重心坐标公式有:
=(++)= (a1+b1+c1),
同理可求y′=(a2+b2+c2),这也是△ABC的重心坐标.
故△DEF的重心与△ABC的重心重合.
点评:由重心坐标公式,只要求出△DEF的各个顶点坐标即可.三角形的五心中,有四个心在高考中经常出现,需要特别加以关注.一是重心,即各边的中线交点,其重心坐标公式为:x=,y=,(其中(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)是三角形的三个顶点的坐标)重心分对应的中线所成的比为1∶2的关系.二是外心,即外接圆圆心,也就是中垂线的交点,外心到三个顶点的距离相等.三是内心,即内切圆圆心,也就是角平分线的交点,内心到三边的距离相等.四是垂心,即三角形的三条高的交点.
9.解:设D为AB的中点,则+=2,又M为△ABC的重心,则= -2,所以++=0.
10.解:设B(x,y),则=(x-1,y+2),与同a同向,∴3(x-1)=2(y+2),又|AB|==2,解得x=5,y=4或x= -3,y= -8,而当x= -3,y= -8时,与a反向,故B为(5,4).
11.(2,2) 如图,当A ′C=2时,
三角形有且只有一解,此时BC=2,∴x<2.
又∵三角形有两解,∴x>2,综合得x∈(2,2).
12.解:∵|λ a+μ b|=|(λcosα+μcosβ,λsinα+μsinβ)|=,
同理|μa-λb|=,由|λa+μb|=|μa-λb|得cos(β-α)=0.
∵0<α<β<π,∴β-α=.
13.解:(1)∵a∥b,∴a=mb,即-2e1- e2=m e1 -mλe2
∴ 解得:m= -2,λ= -.
(2)∵a⊥b,∴a.b=0,(-2e1- e2).(e1-λe2)=0
即 -2 e12+2λe1.e2- e2.e1+λe22=0,-2 +λ=0,∴λ=2.
点评:本题考查两个向量垂直、平行的充要条件、向量的数量积的意义.
14.解:(1)依题意,A为BC中点,则2=+.
=2-=2a-b ∴=-=-=2 a-b-b=2 a-b.
(2)若=λ,则=-=λ a-(2a-b)=(λ-2)a+b.
∵与共线,∴存在实数k,使=k.
∴(λ-2)a+b=k(2a-b) ∴解得λ=.
15.(1)∵ (2a-3b).(2a+b)=61,∴4a2-4a.b-3b2=61.
又|a|=4,|b|=3,∴4×16-4a.b-3×9=61,
∴a.b= -6,∴cosθ= = -,∴θ=120°.
(2)设存在点M,且=λ=(6λ,3λ)(0<λ≤1),∴=(2-6λ,5-3λ),=(3-6λ,1-3λ).
∴45λ2-48λ+11=0,解得:λ=或λ=,∴=(2,1)或 =(,)满足题意.∴存在M(2,1)或M(,)满足题意.
16.解(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),则= -,得P(0,-),Q(,0),由.=0,
得(3,-).(x,)=0,所以y2=4x,由点Q在x轴的正半轴上,得x>0,所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.
(Ⅱ)设直线l:y=k(x+1),其中k≠0代入y2=4x,
得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,(1)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(1)的两个实数根,由韦达定理得
x1+x2= -,
所以,线段AB的中点N坐标为(,),
线段AB的垂直平分线方程为y -= -(x -),
令y=0,x0=+1,所以,点E的坐标为(+1,0).
因为△ABE为正三角形,所以,点E(+1,0)到直线AB的距离等于|AB|,而|AB|==.,|NE|=,∴ =,解得k=±,所以,x0=.