北京市朝阳区2006-2007学年度高三年级第二次统一考试 数学试卷(理科) 　　　　　2007.5 (考试时间120分钟, 满分150分) 第Ⅰ卷 (选择题共40分)参考答案

数学试卷答案(理科) 　　　　2007.5

一.选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)A　　 (2)B　　 (3)A　　 (4)D　　 (5)B　 (6) C (7) D　　 (8)D

二.填空题

(9)3 　　(10)5　　　 (11)15　　　 (12)( x-2)²+ y²=2，2

　　　　 (13)，　　　　 (14)

三.解答题

(15) 解：解：(Ⅰ)∵，

　　　 ∴.　　　　　 ∴.　　　 …………………………………5分

　(Ⅱ)

=

　　　　　　　 =2cos²A+cosA-

=2(cosA+)²-，　　　　　　 　…………………………………………………9分

　　　　 ∵A∈[，]，

∴cosA∈[-，0].

∴2(cosA+)²-∈[-，-].

即的取值范围是[-，-].…………………………13分

(16) 解: 袋子里共装有1+2+3+4+5=15个小球.

(Ⅰ) 标有偶数数字的小球共有2+4=6个，

取出的3个小球全标有偶数数字的概率为.…………………4分

(Ⅱ) 2个小球上所标数字之和为6有三种情况，即(1，5)，(2，4)，(3，3).

所求概率 　　　　　　　　　　…………………………8分

(Ⅲ) 取出的小球上所标数字的分布列为

ξ	1	2	3	4	5
P

∴Eξ=　　　　 ……………13分

(17) 方法1：

(Ⅰ)解：因为ABCD是正方形，

所以BC∥AD.

因为AD平面PAD，BC平面PAD，

所以BC∥平面PAD.　　　　　 …………………………………………………………4分

(Ⅱ)

证明：因为PD⊥底面ABCD，

且ABCD是正方形，

所以PC⊥BC.

设BC的中点为G，

连结EG，FG，则EG∥PC，FG∥DC.

所以BC⊥EG，BC⊥FG.

因为 EG∩FG=G，

所以BC⊥面EFG.

因为EF面EFG，

所以BC⊥EF.　　　　　　　　　　　　　　　 ①　　　　　　　 …………………………………6分

又设PC的中点为H，且E为PB中点，

连结DH，

所以EHBC.

又BCAD，且EHAD.

所以四边形EHDF是平行四边形.

所以EF∥DH.

因为等腰直角△PDC中，H为底边PC的中点，

所以DH⊥PC，即EF⊥PC.　　　　 ②

因为PC∩BC=C，　　　　　　　　　　　　 　③

由①②③知EF⊥平面PBC.　　　　　　　　　　 …………………………………………8分

(②的证明也可以通过连结PF、FB，由△PFB为等腰三角形证明)

　

(Ⅲ)(理科)

解法1：

设PA的中点为M，连结MC，

依条件可知△PAC中PC=AC，

所以MC⊥PA.　　　　　 ①

又PD⊥平面ABCD，∠BAD=90°，

所以AB⊥PA.

因为M、E均为中点，

所以ME∥AB.

所以ME⊥PA.　　　　　 ②

由①②知∠EMC为所求二面角的平面角. 　……………………………………11分

连结EC，在△MEC中，容易求出ME=，MC=，EC=.　

所以cos∠EMC==，即所求二面角的余弦值是. …………13分

解法2：

过点C作CS⊥平面ABCD，使CS=PD.

连结PS，SB，

因为PD，AD，DC两两垂直，且四边形

ABCD为正方形，

故容易证明几何体PAD-SBC为三棱柱.

(即以PAD为底面，以DC为高构造三棱柱

PAD-SBC)

设BS的中点为Q，PA中点为N，

连结NQ，NC.

因为ABSP为矩形，N、Q分别为中点，

所以NQ⊥PA.

又△APC中，AC=PC，N为中点，

所以NC⊥PA.

所以∠CNQ为所求二面角的平面角. ……………………………………11分

因为BC=CS，所以CQ⊥BS.

又面BCS⊥面ABSP，所以CQ⊥面ABSP.

因为NQ面ABSP，所以CQ⊥NQ.

在Rt△NCQ中，容易求出NQ=1，NC=，

所以cos∠CNQ===，即所求二面角的余弦值是. …………13分

方法2：

如图，以点D为原点O，

有向直线OA、OC、OP分别为x、y、z轴

建立空间直角坐标系.

　(Ⅰ)证明：因为=(1，0，0)，

平面PAD的一个法向量为

r_PAD=(0，1，0)，

由. r_PAD=0，可得⊥r_PAD.

于是BC∥平面PAD.　　　　　 ……………………………………………………………4分

(Ⅱ)证明：因为=(0，-，-)，=(1，0，0)，=(0，-1，1)

且.=0，.=0，CB∩CP=C，

所以EF⊥平面PBC.　　　　　 ……………………………………………………………8分

(也可以证明平行于平面PBC的一个法向量)

(Ⅲ) 解：容易求出平面PAB的一个法向量为r_PAB=(，0，)，

及平面PAC的一个法向量为r_PAC=(1，1， 1)，

因为r_PAB. r_PAC=+=1，|r_PAB|=，|r_PAC|=，

所以cos<r_PAB， r_PAC>==，即所求二面角的余弦值是.　 ………13分

(18)解：(Ⅰ) , 设切点为,

则曲线在点P处的切线的斜率,

由题意，知有解，

∴ 　即.　　　　　　　 ………………………………………………5分

(Ⅱ)由已知可得和是方程的两根，

∴ ，，∴ ，．　　　　　 ……………………………7分

∴ ，∴ 在处取得极大值，在处取得极小值．

∵ 函数的图象与轴有且只有3个交点， ∴ 　　………………9分

又，　 ∴ 　　解得．………13分

(19) 解：(Ⅰ)∵，，

∴ MN垂直平分AF．

又，∴ 点M在AE上，

∴ ，，

∴ ，　　　　　 ………………………………………………4分

∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，

∴ ．

∴ 点M的轨迹W的方程为()．……………………………6分

(Ⅱ)设

∵ ，，

∴ 　　　　　∴ 　　　……………………………8分

由点P、Q均在椭圆W上，

∴ 　　　　　　　　　　　　　……………………………10分

消去并整理，得，

由及，解得．　　　　　 ……………………………14分

(20)解：(Ⅰ)设第4列公差为，则．

故，于是．

由于，所以，故．　　　　　 ………………………………………3分

(Ⅱ)在第4列中，．

由于第行成等比数列，且公比，

所以， ． ………………………………6分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知．即b_n=．

所以.

即，

故．

两式相减，得

，

所以．　　　　　 ………………………………………………8分

设f(x)=2--　( x >0)，

即f(x)=2--=2-=2-(2+ x)2^-x.

因为f ′(x)= -[2^-x+(2+ x)2^-x(-1)ln2]= 2^-x[(2+ x)ln2-1]

　　　　　　　 　=2^-x[ln2^{2+ x} - lne]=2^-xln，

且当x>0时，x+2>2. 所以2^{2+ x}>2²= 4.

于是>>1.

所以ln>0.

又2^-x>0，

所以在(0，+∞)上f ′(x) =2^-xln>0.

因此函数f(x)=2--在(0，+∞)单调递增.

所以　( n∈N*)是递增数列.　　　　　　 ……………………………10分

同理设g(x)=( x >0)，

因为g′(x)=.= -<0　 ( x >0)，

故g(x)=在(0，+∞)单调递减.

所以T_n=( n∈N*)是递减数列.　　　　　　　 ………………………………………12分

容易计算S₁=f(1)=，S₂=f(2)=1，S₃=f(3)=1，S₄=f(4)=1，

T₁= g(1)=1，T₂= g(2)=1，T₃= g(3)=1，T₄= g(4)=1，

显然S₁< T₁，S₂< T₂，S₃< T₃，S₄> T₄，

所以当n≤3时，<T_n；当n>3时，>T_n.　　　　　　　　　 ……………………………14分

注：(1)2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分.

(2)如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.