直线与平面平行

1. 直线与平面平行的判定

(1)　 定义

(2)　　 判定

2. 直线与平面平行的性质

(1)

(2)*

(3)*

[典型例题]

[例1] 正方形ABCD交正方形ABEF于AB(如图所示)M、N在对角线AC、FB上且AM= FN。求证：MN //平面BCE

证：过N作NP//AB交BE于P，过M作MQ//AB交BC于Q

　　 　　

又 ∵ 　MQPN

　　

[例2] 如图，异面直线a、b，，，H为AB中点，，，，，，。求证：N为PQ中点

证：连AQ交于M，连HM、NM

∴

[例3] ，，。求证：

证：过a作　　 ∴ 　过a作

　　 ∴ 　　∴

[例4] 已知，，。求证：

假设过、A中确定平面　

∵ 　　∴ 　　又 ∵ 与已知矛盾

∴ 假设不成立　　 ∴

[例5] a、b异面，求证过b与a平行的平面有且仅有一个。

证：存在性：过b上一点P作直线，确定平面　　 ∴ 　

唯一性：假设存在　 　　　　　　　　

由例3 与已知矛盾　　 ∴ 只有一个

[例6] P为空间一点，a、b异面，过P作与a、b均平行的平面可作几个。

0个或1个 过a存在平面　

　　　　　 过b存在平面　

① 或　 0个

② 且　 1个 可用反证法证明只有一个

[例7] a、b异面直线，P为空间任一点，过P作直线与a、b均相交，这样的直线可以作多少条？

解：0、1或无数　 过a存在唯一个平面，过b存在唯一个平面

① 若或有无数条

② 若或且且直线不存在

③ 且，有且只有一条

，过P、b作平面

　 ∴ 　　∴ 　

连PQ与b相交　　 ∴ 存在与a、b均相交

假设有两条过P的直线、与a、b均相交　 　确定平面

a与各有一个交点　 ∴ 　同理与a、b异面矛盾

∴ 假设不成立　　 ∴ 只有一条

[例8] a、b、c两两异面，空间与a、b、c，均相交的直线有多少条。

证：存在　 　　

　　 存在　 　　

　　 c与a、b异面，c中有无数个点在、外，每一个点可作一条线与a、b均相交

　　 ∴ 无数条

[模拟试题]

1. ，a、b与、均垂直，则a、b的关系为(　　 )

A. 平行　　　 B. 相交　　　 C. 异面　　　 D. 以上均可能

2. 已知异面直线a、b成60°角，P为空间一点，则过P且与a、b所成角均为60°的直线有(　　 )

A. 2条　　　　 B. 3条　　　 C. 4条　　　 D. 无数条

3. 空间直线a，b满足(1)与a异面；(2)与a成45°角；(3)与a距离为10cm，则这样的b有(　　 )

A. 1条　　　 B. 2条　　　 C. 4条　　　 D. 无数条

4. P为　 ABCD所在平面外一点，，，且求证：