直线

(一)直线的倾斜角()和斜率()

1. 定义　 倾斜角范围　　 斜率：

2. 与的关系：

注：准确地把握这两个概念，关注斜率不存在带来的问题。

[例] (1)直线的斜率　　　 ，倾斜角　　　 。

(2)若，则直线的斜率　　　 ，倾斜角　　　　 。

拓展：取消的限制，结论如何。

(3)直线L过点且与以，为端点的线段PQ相交，则斜率的取值范围　　　　 ，倾斜角的取值范围　　　　 　。

(4)若，则　　　　　 。

(5)若时，则　　　　　 。

答案：(1)；　　 (2)；

(3)；

(4)　　 (5)

(二)直线方程

1. 直线方程的五种形式及适用范围

(1)斜截式：　 不含与轴垂直的直线

(2)点斜式：　 不含与轴垂直的直线

(3)两点式：　　 不含与轴、轴垂直的直线

(4)截矩式：　　 不含过原点和与轴、轴垂直的直线

(5)一般式：　 无限制(可表示任何直线)

注：两点式的“改良”　 可表示任何直线。

2. 直线系：

(1)平行直线系：　 (为待定系数，斜率已知)

(2)过定点直线系：　 (为待定系数，点为已知)

(3)过两直线交点的直线系：已知；，则　 (为参数--待定系数)

L是过与交点的直线系　 (不含)

若，则L是与与平行的直线系。

注：(1)与已知直线平行的直线系：(为参数)

(2)与已知直线垂直的直线系：(为参数)

(三)两条直线的位置关系

1. 判定两条直线的位置关系(三种：相交、平行、重合)

设；　　

；

(1)或仅有一个不存在

或一个为零一个不存在

(2)且或均不存在且

(3)与重合且或均不存在且

[例题] 已知两直线；，当为何值时，与(1)相交(2)平行(3)重合

解：当时，则　　 ∴

(1)当时，；　 ∴

(2)当时，；　 ∴

(3)当时，；　 ∴ 重合

(4)当，，时，相交。

说明：时，与平行或重合相交且只有有数几个值应先分析。

2. 两条直线所成的角(夹角)与直线到的角

夹角：　　 到的角：

3. 点到直线的距离：

到的距离为；到的距离为，两条平行线；，则与的距离

(四)对称性问题(专题)方法--相关点法

1. 对称分两大类

(1)关于点中心对称：点关于定点中心对称点

(2)关于直线轴对称：点关于直线的对称点，则解出的值为：

2. 常用对称的规律：已知点，直线

(1)关于X轴对称的对称点；

(2)关于Y轴对称的对称点；

(3)关于直线的对称点；

(4)关于直线的对称点；

(5)关于原点的对称点；

(6)关于点的对称点；

(7)关于直线的对称点；

(8)关于直线的对称点；

(9)关于直线的对称点；

(10)关于直线的对称点；

思考：我们注意到只须将对称点的坐标Q代入直线L即得对称的直线方程，为什么？

它们的理论依据是什么？--“相关点法”

我们以(9)题为例，即求直线，关于直线对称的直线方程。

解：设所求直线上任意一点

关于直线的对称点

则　 ∴ 　　∴

∵ 　　∴ 　即：

点拨：① 代入对称点坐标的理论依据是“相关点法”

② 有关对称性问题都可用“相关点法”求对称曲线。

(五)线性规划

1. 二元一次不等式表示平面区域

(1)二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线

一侧所有点组成的平面区域，直线应画成虚线，表示直线另一侧所有点组成的平面区域，画不等式。所表示的平面区域时，应把边界直线画成实线。

(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

快捷判断法：

(1)代点检验法　　

(2)直线上半平面为的区域；下半平面为的区域

2. 线性规划

(1)对于变量的约束条件，都是关于的一次不等式，称为线性约束条件，是欲达到最值所涉及的变量的解析式，叫做目标函数。当是关于的一次解析式时，叫做线性目标函数。

(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题称为线性规划问题，满足线性约束条件的解称为可行解。由所有解组成的集合叫可行域，使目标函数取得最值的可行解叫最优解。

3. 求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域，写出目标函数；(3)确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。

[模拟试题](答题时间：45分钟)

1. 直线与两坐标轴围成的三角形面积为(　　 )

A. 　　B. 　　C. 　　D.

2. 若直线与直线平行，则在两坐标轴上截距之和为(　　 )

A. 　　B. 　　C. 　　D.

3. 过原点，且与直线成角的直线方程为(　　 )

A. 　　　B. 　　　C. 或　　 D.

4. 已知为直线和所成的角，则当取最大值时，实数值为(　　 )

A. 　　B. 或　　 C. 或　　 D. 或

5. 三条直线；；不能围成三角形，则取值的个数为(　　 )

A. 　　B. 　　C. 　　D.

6. 直线过点，且与以和为端点的线段相交，则斜率取值范围为(　　 )

A. 　　　B. 　　C. 　　D. 以上都不对

7. 将直线沿轴正向平移2个单位，再沿轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率为(　　 )

A. 　　B. 　　　C. 　　　D.

8. 已知点和分别是直线上和外的点，若方程为，则方程表示(　　 )

A. 与重合的直线　　　　　 B. 过且与垂直的直线

C. 过且与平行的直线　　 D. 不过但与平行的直线

9. 已知点，，P点在直线上，使最大，则P点坐标为(　　 )

A. 　　　B. 　　C. 　　D.

10. 若方程表示一条直线，则实数满足(　　 )

A. 　　　　　　　　B. 或　

C. 或　　 D. 或

11. 曲线关于直线对称的曲线方程为(　　 )

A. 　　　　　　B. 　

C. 　　　　D.

12. 函数一条对称轴为，则倾斜角为(　　 )

A. 　　B. 　　　C. 　　　D.

13. 直线与及坐标轴围成的四边形有外接圆，则值为(　　 )

A. 　　B. 　　C. 　　D.

14. 中，，且，则A点轨迹方程为(　　 )

A. 　　　　B.

C. 　　　　D.

15. 已知；，则、和轴围成三角形面积最小值为　　　　　 。

16. 过点，的直线与直线交于P点，则P点分的比为

　　　　 。

17. 由确定的可行域中，横纵坐标均为整数的点有　　　　 个。

18. 已知集合，，且，则中元素个数为　　　　 。

19. 过点作交正半轴于A，作交正半轴于B，若，且AB恰平分四边形OAMB面积，求直线AB方程。

20. 一化工厂生产某产品，生产成本为20元/，出厂价为50元/，每生产1该产品产生的污水，有两种处理方式：直接排入河流或输送到污水处理厂。环保部门对排入河流污水收费为15元/，污水处理厂对污水收费为5元/，但只能净化污水的，未净化污水仍排入河流，且排放费仍由厂家付给，若污水处理厂处理污水最大能力为/分钟，环保部门允许该化工厂污水排入河流最大排放量为/分钟，问该化工厂每分钟生产多少产品，每分钟直接排入河流污水为多少时纯利润最高？