直线的倾斜角和斜率、直线的方程

1. 重点：

　　 直线的倾斜角和斜率的概念、直线方程的几种重要形式。

2. 难点：

斜率的概念的学习，过两点直线的斜率公式的建立，直线方程的应用。

[典型例题]

[例1](1)已知M(，3)，N(2，15)若直线的倾斜角是MN的一半，求的斜率

解：

设的倾斜角为　

∴ 　　　　∴ 　　

∵ 　　∴

(2)过P(，)的直线与轴的正半轴没有公共点，求的倾斜角的范围。

解：　 ∴ 　　∴

(3)若直线的斜率则直线的倾斜角的取值范围是什么？

解：∵ 　　∴

[例2] 过点P(1，4)作直线与两坐标轴正向相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求直线方程。

解：设(，)

∵ 过P(1，4)　 ∴

∴

当　　 ∴ 时，

∴ 　　即

[例3] 在中，A(2，8)，B(，0)，C(5，0)求过B且将面积分成的直线方程。

解：设交AC于P点，则(1)；(2)

(1)当时，P(，)满足

∴ ：　 即

(2)当时，P(x，y)满足

∴ ：　 即

[例4] 设P₁(x₁，y_1­)，P_2­(，)：，求与直线的交点P(不过P₂)分的比。

解：设P分的比为，则P(，)

∵ 　　∴

∴

∵ 　　∴

当时，P₁，P₂在同侧　　 当时，P₁，P₂在异侧

[例5] 过点(，)作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个平方单位，求直线的方程。

解：设直线的方程为

∵ 过点(，)　 ∴ 　　即

又直线与两坐标轴围成三角形面积为5

∴ 　　则

∴ 　　∴ 或

∴ 的方程为：或

[例6] 求经过点A(，)且在坐标轴上截距为相反数的直线的方程。

解：

(1)当在坐标轴上截距都不为零时，设方程为

将A(，)代入上式有，解得

∴ 所求直线方程为

(2)当在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为

将A(，)代入方程得，即　 ∴ 　

即

[例7] 已知的一个顶点A(，2)两条中线所在直线方程为和，求各边所在直线的方程。

解：∵ A(，2)不在这两条中线上　　

∴ 这两条中线应是边AB和AC上的中线

解得　　 ∴ 的重心G(，2)

设B(，)C(，)　 则　

∴

不妨设B在中线上，点C在中线上

∴ 　联立(1)(2)(3)(4)解得

即B(2，4)C(4，0)

∴ AB边所在直线方程为即

AC边所在直线方程为即

BC边所在直线方程为即

若调换B、C的位置，则BC边所在直线的方程不变，AB与AC的方程互换

[例8] 过定点P(2，1)作直线，分别与轴、轴正向交于A、B两点，求使面积最小时的直线方程。

解：显然所求的斜率存在且小于0，设其为()则为

令得A(，0)令得B(0，)

∴

其中，

当且仅当　 即时，的最小值为4

此时的最小值为

∴ 所求直线方程为即

[模拟试题](答题时间：60分钟)

1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率是(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 　　D.

2. 已知的斜率，那么的倾斜角为(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 　　　D.

3. 直线的倾斜角的正弦值为，则的斜率是(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 　　D.

4. 若直线过(，9)，(，)两点，则的倾斜角为(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 　　D.

5. 已知A(，)，B(3，0)且AB的斜率为，则的值是(　　 )

　　 A. 1　　 B. 　　C. 　　D. 0

6. 直线的倾斜角为，且，则的斜率的范围是(　　 )

A. 　　　　　　　　　 B. 　　

C. 或　　 　　　　 D. 或

7. 已知一直线倾斜角为，且直线过(，)则直线方程为(　　 )

A. 　　　　　 B. 　　

C. 　　　　　　　　　 D.

8. 经过两点(，1)，(3，9)的直线在轴上的截距是(　　 )

　　 A. 　　B. 　　　C. 　　　D. 2

1. 经过二、三、四象限，的倾斜角为，斜率为，则的取值范围是　　　 。

2. 在轴上的截距为，且与轴相交成角的直线方程为　 　　　　。

3. 若方程表示一条直线，则　　　 。

4. 已知直线在轴上的截距为3，则在轴上的截距为　　　 。

1. 过P(，)的直线与轴，轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线的斜率和倾斜角。

2. 已知与的倾斜角相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求的方程。

3. 过点P(4，2)作分别交轴，轴正半轴于A、B两点，当面积最小时，求直线的方程。