1. 若集合,则下列关系成立的是( 宗 )
(A) (B) (C) (D)
2. 已知复数z = (2 + 3i)( 1 – 4i ) , 则z在复平面上对应的点Z位于( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
3.数据的方差为,则数据的方差为( )
(A) (B)-1 (C) ) (D) -1
4. 如图,已知单位圆O与y轴相交于A、B两点.角θ的顶点为原点,始边在x轴的正半轴上,终边在射线OC上. 过点A作直线AC垂直于y轴且与角θ的终边交于点C,则有向线段AC的函数值是( )
(A)sinθ (B) cosθ (C) tanθ (D) cotθ
5. 在锐角△ABC中,若lg (1+sinA) = m , 且lg= n,则lgcosA等于( )
(A)(m-n) (B)m-n (C)( m+) (D)m+
6. 从1到10十个数中,任意选取4个数,其中,第二大的数是7的情况共有 ( )
(A)18 种 (B)30种 (C)45种 (D)84种
7.若,使成立的一个充分不必要条件是 ( )
(A) (B) (C) (D)
8. 在等差数列中,,
则为( )
(A)(B) (C) (D)
9.已知函数 f ( x) = (x2 – 3x + 2) g ( x ) + 3x – 4 , 其中g ( x )是定义域为R的连续函数,则方程f ( x) = 0在下面哪个范围内必有实数根 ( )
(A) ( 0, 1 ) (B) (1, 2 ) (C) ( 2 , 3 ) (D) ( 2, 4 )
10. 已知偶函数f (x )满足条件:当x ÎR时,恒有 f ( x + 2 ) = f (x ) , 且0 £ x £ 1时,有f ` ( x ) >0,则的大小关系是 ( B )
(A) (B)
(C) (D)
11. 函数的定义域是_ ____
12. = .
13. 化简= 。
14. 二项式的展开式中, 常数项的值是 .
15. 函数的最小正周期是__________。
16. 设实数满足,则的取值范围是__ __.
17. 设向量 a n = ,向量b的模为 (k为常数),则y = |a 1 +b|2 + |a 2 +b| 2 + … + |a 10 +b| 2的最大值与最小值的差等于. .
18. (本小题满分14分)
已知, 求:
(1) 的值; (2) 的值;
(3) 函数的图象可以通过函数的图象进行怎样的平移得到?
19. (本小题满分14分)
解关于x的不等式 2x – | x – a | > 2
20.(本小题满分14分)
暗箱中开始有3个红球,2个白球.每次从暗箱中取出一球后,将此球以及与它同色的5个球(共六个球)一齐放回暗箱中。
(1) 求第二次取出红球的概率
(2) 求第三次取出白球的概率;
(3) 设取出白球得5分,取出红球得8分,求连续取球3次得分的期望值.
21. (本小题满分14分)
已知向量x = (1,t2 – 3 ) , y = (–k ,t) (其中实数k和t不同时为零),当| t | £ 2时, 有 x⊥y ,当| t | > 2时,有x∥y.
(1) 求函数关系式k = f (t ) ;
(2) 求函数f (t )的单调递减区间;
(3) 求函数f (t )的最大值和最小值.
22.(本小题满分16分)
已知数列{bn}满足条件: 首项b1 = 1, 前n项之和Bn = .
(1) 求数列{bn}的通项公式 ;
(2) 设数列{an}的满足条件:an= (1+) a n – 1 ,且a1 = 2 , 试比较an与的大小,并证明你的结论.
数学参考评分标准(理科)
11. [0,¥) 12. 4 .
13. – 1 14. 1215 .
15. p 16. (–¥, – 1]∪[1,¥)
17. 2()k .
18. (本小题满分14分)
(1) ∵, ∴, 有; --- 4分
(2) ; --- 5分
(3) 函数的图象可以通过函数的图象向左平移个单位得到. --- 5分
19. (本小题满分14分)
1.当x < a时, 不等式化成: 2x + x– a > 2, 得 x > ( a + 2), 2分
a = ( a + 2), 得a = 1 1分
1) 当 a £ 1时, ∵( a + 2) ≥ a , ∴ 无解 ,
2) 当 a >1时, ∵( a + 2) < a, ∴解为( a + 2)< x < a . 3分
2.当x ³ a 时, 不等式化成: 2x –x + a > 2, 得 x > 2 – a , 2分
由a =2 – a,得a = 1 1分
1) 当 a £ 1时, ∵a <2 – a , ∴x > 2 – a,
2) 当a > 1时, ∵a >2 – a, ∴ x ³ a. 3分
综合上述: 当 a £ 1时, 原不等式解为 x >2 – a ,
当a >1时, 原不等式解为 x > ( a + 2) 2分
其它解法: 1 ) 2x – 2 > | x – a | 平方求解.
2) 图象法
对照上面给分.
20.(本小题满分14分)
设第n次取出白球的概率为Pn, 第n次取出红球的概率为Qn,
(1) 第二次取出红球的概率Q2 = += 5分(每项2分)
(2) 三次取的过程共有下列情况:
白白白,白红白,红白白,红红白,
第三次取出白球的概率
P3 = +++
= 5分(每项1分)
(3) 连续取球3次,得分的情况共有
5+5+5 , 5+8+5, 8+5+5, 8+8+5, 5+5+8 , 5+8+8, 8+5+8,8+8+8
列表如下:
x |
15 |
18 |
21 |
24 |
P |
= |
++ = |
++ = |
= |
得分期望x = 15´+ 18´+21´+ 24´= 4分
21. (本小题满分14分)
(1) 当| t | £ 2时,由x⊥y得:x.y = – k + (t2 – 3 ) t = 0,
得k = f (t ) = t3 – 3t ( | t | £ 2 )
当| t | > 2时, 由x∥y得: k =
所以k = f (t ) = 5分
(2) 当| t | £ 2时, f `(t ) =3 t2 – 3 , 由f `(t ) < 0 , 得3 t2 – 3 < 0
解得 –1 < t < 1 ,
当| t | > 2时, f `(t ) = = > 0
∴函数f (t )的单调递减区间是(–1, 1). 4分
(3) 当| t | £ 2时, 由f `(t ) =3 t2 – 3 =0得 t = 1或t = – 1
∵ 1 <| t | £ 2时, f `(t ) > 0
∴ f (t)极大值= f (–1) = 2, f (t)极小值= f (1) = –2
又 f ( 2 ) = 8 – 6 = 2, f (–2) = –8 + 6 = –2
当 t > 2 时, f (t ) =< 0 ,
又由f `(t ) > 0知f (t )单调递增, ∴ f (t ) > f (2) = –2,
即当 t > 2 时, –2 < f (t ) < 0,
同理可求, 当t < –2时, 有0 < f (t ) < 2,
综合上述得, 当t = –1或t = 2时, f ( t )取最大值2
当t = 1或t = –2时, f ( t )取最小值–2 5分
22.(本小题满分16分)
(1) 当n >1时, bn = Bn –Bn – 1 = –= 3n-2
令n = 1得b1=1,
∴bn=3n-2. 5分
(2)由an= (1+) a n – 1 ,得 ∴an=
由a1 = 2 ,bn=3n-2知,
an=(1+)(1 + )…(1+)2
=(1+1)(1+)…(1+)
又= = , 5分
设cn= ,
当n=1时,有(1+1) = >
当n=2时,有an=(1+1)(1+) = = > = = cn
假设n=k(k≥1)时an>cn成立,即(1+1)(1+)…(1+)>成立,
则n=k+1时,
左边== (1+1)(1+)…(1+)(1+)
>(1+)= 3分
右边= c k + 1= =
由(ak+1)3 – (c k + 1)3 =(3k + 1)–(3k+4) =
=>0, 得ak+1 > c k + 1成立.
综合上述, an>cn对任何正整数n都成立. 3分