1.已知tan(α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.
2.求函数f(x)=sin x+cos x+sin x.cos x,x∈R的最值及取到最值时x的值
3.已知cos=,<x<,求的值.
B-95答案
1.解 tan α=tan[(α-β)+β]==>0.而α∈(0,π),故α∈(0,).∵tan β=-,0<β<π,∴<β<π.∴-π<α-β<0.而tan(α-β)=>0,∴-π<α-β<-.∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0)∵tan(2α-β)=tan[α+(α-β)] ==1,∴2α-β=-.
2.解 设sin x+cos x=t,则t=sin x+cos x==sin,
∴t∈[-,],∴sin x.cos x== ∴f(x)=sin x+cos x+sin x.cos x
即g(t)=t+=(t+1)2-1,t∈[-,].当t=-1,即sin x+cos x=-1时,f(x)min=-1.此时,由sin=-,解得x=2kπ-π或x=2kπ-,k∈Z.
当t=,即sin x+cos x=时,f(x)max=+.此时由sin=,解得x=2kπ+,k∈Z.
综上,当x=2kπ-π或x=2kπ-,k∈Z时,f(x)取得最小值,f(x)min=-1;当x=2kπ+,k∈Z时,f(x)取得最大值,f(x)max=+.
3.解 ===
=sin 2x.tan. ∵<x<,∴<x+<2π,又∵cos=,∴sin=-.
∴tan=-.∴cos x=cos=coscos +sinsin =×=-
∴sin x=sin=sincos -sin cos=-,
sin 2x=.∴=-.