28.1锐角三角函数——正弦、余弦、正切参考答案

参考答案

一、基础训练

1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB上有一点B′，B′C′、BC是边AC上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′=______________,B′C′∶AC′=______________.

图28-1-1-1

解析：由相似三角形的判定得△AB′C′∽△ABC，由性质得B′C′∶AB′=BC∶AB，B′C′∶AC′=BC∶AC.

答案：△AB′C′∽△ABC　 BC∶AB　 BC∶AC

2.在Rt△ABC中，如果边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值、余弦值和正切值 (　　　 )

A.没有变化　　　　　　　 B.都扩大5倍　　　　 C.都缩小5倍　　 　　　　D.不能确定

解析：三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变.

答案：A

3.在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于(　　　 )

A.　　 　　　　　　　　　　　B.　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：sinA=,设a=3k,c=5k,∴b=4k.

∴sinB=.

答案：C

二、强化训练

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB=，则cosA等于(　　　 )

A.　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　 D.

解析：tanB=,设b=k,a=2k.∴c=3k.

∴cosA=.

答案：B

2.如果α是锐角,且sinα=,那么cos(90°-α)的值为(　　　 )

A.　　　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　 　　　　　　　C.　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：cos(90°-α)=sinα=.

答案：A

3.在△ABC中，∠C＝90°，AC=，AB=，则cosB的值为(　　　 )

A.　　　　　　　　　　　 　B.　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　 D.

解析：由勾股定理,得BC=，

∴cosB=.

答案：C

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=15,则AC=______________.

解析：∵sinA=,BC=15,∴AB=39.由勾股定理,得AC=36.

答案：36

5.如图28-1-1-2,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值.

图28-1-1-2

分析：因为三角函数值是在直角三角形中求得，所以构造直角三角形就比较重要,对于等腰三角形首先作底边的垂线.

解：过A作AD⊥BC于D,

∵AB=AC,

∴BD=2.在Rt△ADB中，由勾股定理,知AD=，

∴sinB=.

三、巩固训练

1.如图28-1-1-3,已知菱形ABCD，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan等于(　　　 )

图28-1-1-3

A.　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　 　　　　D.

解析：菱形的对角线互相垂直且平分，由三角函数定义,得tan=tan∠DAC=.

答案：A

2.如果sin²α+cos²30°=1,那么锐角α的度数是(　　　 )

A.15°　　　　　　　　　　 B.30°　　　　　　　　　　　 C.45°　　　　　　　　　　 D.60°

解析：由sin²α+cos²α=1,∴α=30°.

答案：B

3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.

图28-1-1-4

解析：坡度=,所以BC=5，由割补法知地毯长=AC+BC＝7(米).

答案：7米

4.在Rt△ABC中，斜边AB=,且tanA+tanB=，则Rt△ABC的面积是___________.

解析：∵tanA=,tanB=,且AB²=BC²+AC²,由tanA+tanB=,得+=,即AC.BC=.∴S_△ABC=.

答案：

5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且a=3,c=5,求∠A、∠B的三角函数值.

解：根据勾股定理得b=4,sinA=,cosA=，tanA=;sinB=,cosB=，tanB=.

6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且b=6,tanA=1,求c.

解：由三角函数定义知a=btanA，所以a=6，根据勾股定理得c=.

7.如图28-1-1-5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长.

图28-1-1-5

解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°,

∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA=,

∴=.

∴AB=10.

∴AC==8.

∴AD=AC-CD=8-6=2.

8.如图28-1-1-6，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.

求:(1)tanC的值；(2)AD的长.

图28-1-1-6

解：(1)∵AB=AC,AD⊥BC,

∴AD＝BC＝2DC.

∴tanC=2.

(2)∵tanC=2，BE⊥AC,BE=4,∴EC=2.

∵BC²=BE²+EC²,

∴BC=.∴AD=.

9.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1 000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.

图28-1-1-7

解：∵AC²=AB²-BC²,∴AC=.

∴tanA=,即山坡的坡度为.