28.1 锐角三角函数——正弦、余弦、正切参考答案

参考答案

一、基础.巩固达标

1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值(　　　 )

A.都没有变化　　　　　　　　　 B.都扩大2倍　　　　　　　　 C.都缩小2倍　　　　　　　　 　D.不能确定

思路解析：当Rt△ABC的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A大小不变.

答案：A

2.已知α是锐角，且cosα=，则sinα=(　　　 )

A.　　　　　　　　　　　　　　 　B.　　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

思路解析：由cosα=，可以设α的邻边为4k，斜边为5k，根据勾股定理，α的对边为3k，则sinα=.

答案：C

3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶，则cosA=_______，tanA=_________.

思路解析：画出图形，设AC=x，则BC=，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的定义计算.

答案：，

4.设α、β为锐角，若sinα=，则α=________；若tanβ=，则β=_________.

思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.

答案：60°,30°

5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________.

思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.

答案：0.386 0

6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=，求AD、AC、BC.

思路解析：由条件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有tan∠CAD=tanB=，所以可以在△ABD、△ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.

解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k.

在Rt△ABC中，∵tanB=，∴AC=AB=k.∵BD=9,∴k=3.

所以AD=4×3=12，AC=×3=20.

根据勾股定理.

二、综合•应用达标

7.已知α是锐角，且sinα=，则cos(90°－α)=(　　　 )

A.　　　　　　　　　　 　　　　B.　　　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　 D.

思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)=.

方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°－α)”.

答案：A

8.若α为锐角，tana=3，求的值.

思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶，sinα=，cosα=，分别代入所求式子中.

方法2.利用tanα=计算，因为cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算.

答案：原式=.

9.已知方程x²－5x.sinα+1=0的一个根为，且α为锐角，求tanα.

思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是，进而可求出sinα=，然后利用前面介绍过的方法求tanα.

解：设方程的另一个根为x₂，则()x₂=1

∴x₂=

∴5sinα=()+()，解得sinα=.

设锐角α所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k，

∴tanα=.

10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？

图28.1－14

思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.

解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab，

由题意得，平行四边形的面积S=ab.

又因为S=ah=a(bsinα)，所以ab=absinα，即sinα=.所以α=30°.

三、回顾•展望达标

11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是(　　 　)

图28.1－15

A.　　　　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　 D.

思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义.

答案：C

12.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC=2，则cosB的值是( 　　　)

图28.1－17

A.　　　　　　　　　　　　　　　　 　B.　　　　　　　　　　　　　　 　C.　　　　　　　　　　　　　 　D.

思路解析：利用∠BCD=∠A计算.

答案：D

13.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC=(　　　 )

A.45　　　　　　　　　　　　　　　　 B.5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　 　　D.

思路解析：根据定义sinA=，BC=AB.sinA.

答案：B

14.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=(　　　 )

图28.1－16

A.　　　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B转移到Rt△ADC中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B.

答案：B

15.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P₁，分别过点P和P₁做始边OA的垂线PM和P₁M₁，M和M₁为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.

图28.1－18

思路解析：正弦、余弦函数的定义.

答案：，锐角α

16.计算：2^－1－tan60°+(－1)⁰+；

思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.

解：2^－1－tan60°+(－1)⁰+||=－+1+=.

17.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°.

图28.1－19

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.

思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA，证∠OAD=90°.

由sinB=可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO是等边三角形，由此∠OAD=90°.

AD是Rt△OAD的边，有三角函数可以求出其长度.

(1)证明：如图，连接OA.

∵sinB=，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.

∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形.

∴∠OAD=60°.

∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切线.

(2)解：∵OD⊥AB　 ∴ OC垂直平分AB.

∴ AC=BC=5.∴OA=5.

在Rt△OAD中，由正切定义，有tan∠AOD=.

∴ AD=.