1．方程x²﹣9=0的解是(　　 )

A．x_l=x₂=3　 B．x_l=x₂=9　 C．x_l=3，x₂=﹣3　 D．x_l=9，x₂=﹣9

2．一元二次方程x²﹣2x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为(　　 )

A．(x+1)²=6 B．(x﹣1)²=6　 C．(x+2)²=9 D．(x﹣2)²=9

3．高4米的旗杆在水平地面上的影长5米，此时测得附近一个建筑物的影子长20米，则该建筑物的高是(　　 )

A．16米 B．20米 C．24米 D．30米

4．有一个铁制零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的左视图是(　　 )

A．　 B．　 C．　 D．

5．如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，AB=4，则△ADE与△ABC的相似比是(　　 )

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4

6．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　　 )

A．14　 B．15　 C．16　 D．17

7．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于(　　 )

A．70° B．65° C．50° D．25°

8．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是(　　 )

A．55(1+x)²=35 B．35(1+x)²=55 C．55(1﹣x)²=35　 D．35(1﹣x)²=55

9．关于x的方程x²+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　 )

A．k＞﹣1　 B．k＞﹣1且k≠0　　 C．k＜1 D．k＜1且k≠0

10．在平面直角坐标系中，已知点E(﹣4，2)，F(﹣2，﹣2)，以原点O为位似中心，相似比为2：1，把三角形EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是(　　 )

A．(﹣2，1)　　 B．(﹣8，4)　　 C．(﹣8，4)或(8，﹣4)　　 D．(﹣2，1)或(2，﹣1)

11．已知，则=__________．

12．如果x=1是一元二次方程x²+bx﹣3=0的一个根，则b=__________．

13．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为__________．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(﹣3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是__________．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB边上(不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是__________．

16．解下列方程：

(1)x²+4x+1=0

(2)x(x﹣4)﹣2(x﹣4)=0．

17．近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两相交公路内(如图所示)．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定P点的位置．

18．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD．

(1)求证：△ABF∽△CEB；

(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．

19．如图，是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是红桃1、2、3和方块1、2、3，将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张，求摸出的两张牌的牌面数字之和小于5的概率．(要求用列表或树状图表示)

20．某商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价1元出售，其销售量就减少20件，且在60元基础上提价不能超过15元．问提价多少元才能获利12000元？

21．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：

如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m(点A、E、C在同一直线上)．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．(结果精确到0.1m)

22．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．

(1)求证：BD=BE；

(2)若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．

23．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：

(1)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

(2)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式．

24．情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC相等的线段是__________，∠CAC′=__________°．

问题探究

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

2015-2016学年陕西省汉中市南郑县红庙中学九年级(上)期中数学试卷

1．方程x²﹣9=0的解是(　　 )

A．x_l=x₂=3　 B．x_l=x₂=9　 C．x_l=3，x₂=﹣3　 D．x_l=9，x₂=﹣9

[考点]解一元二次方程-直接开平方法．

[分析]这个式子先移项，变成x²=9，从而把问题转化为求9的平方根．

[解答]解：移项得x²=9，∴x=±3．

故选C．

[点评]解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x²=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．

(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x²=a(a≥0)；ax²=b(a，b同号且a≠0)；(x+a)²=b(b≥0)；a(x+b)²=c(a，c同号且a≠0)．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

2．一元二次方程x²﹣2x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为(　　 )

A．(x+1)²=6 B．(x﹣1)²=6　 C．(x+2)²=9 D．(x﹣2)²=9

[考点]解一元二次方程-配方法．

[分析]把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．

[解答]解：把方程x²﹣2x﹣5=0的常数项移到等号的右边，得到x²﹣2x=5，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x²﹣2x+(﹣1)²=5+(﹣1)²，

配方得(x﹣1)²=6．

故选：B．

[点评]本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

3．高4米的旗杆在水平地面上的影长5米，此时测得附近一个建筑物的影子长20米，则该建筑物的高是(　　 )

A．16米 B．20米 C．24米 D．30米

[考点]相似三角形的应用．

[分析]在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．

[解答]解：∵，

即，

∴设建筑物的高是x米．则=

解得：x=16．

故该建筑物的高为16米．

故选A．

[点评]本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出该建筑物的高度，体现了方程的思想．

4．有一个铁制零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的左视图是(　　 )

A．　 B．　 C．　 D．

[考点]简单几何体的三视图．

[分析]找到从左面看所得到的图形即可．

[解答]解：左边看去是一个正方形，中间有一个圆柱形孔，圆柱的左视图是矩形，所以左视图的正方形里面还要两条虚线．

故选C．

[点评]本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．

5．如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，AB=4，则△ADE与△ABC的相似比是(　　 )

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4

[考点]相似三角形的性质．

[专题]计算题．

[分析]根据相似三角形对应边的比等于相似比求解．

[解答]解：∵△ADE∽△ABC，

∴△ADE与△ABC的相似比为AD：AB=1：4．

故选D．

[点评]本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

6．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　　 )

A．14　 B．15　 C．16　 D．17

[考点]菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．

[分析]根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．

[解答]解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=4，

∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，

故选C．

[点评]本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长．

7．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于(　　 )

A．70° B．65° C．50° D．25°

[考点]平行线的性质；翻折变换(折叠问题)．

[分析]由平行可求得∠DEF，又由折叠的性质可得∠DEF=∠D′EF，结合平角可求得∠AED′．

[解答]解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB=65°，

又由折叠的性质可得∠D′EF=∠DEF=65°，

∴∠AED′=180°﹣65°﹣65°=50°，

故选C．

[点评]本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．

8．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是(　　 )

A．55(1+x)²=35 B．35(1+x)²=55 C．55(1﹣x)²=35　 D．35(1﹣x)²=55

[考点]由实际问题抽象出一元二次方程．

[专题]增长率问题．

[分析]如果设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格是55(1﹣x)，再在这个数的基础上降价x，即可得到35元，可列出方程．

[解答]解：设平均每次降价的百分率为x，

则根据题意可列方程为：55(1﹣x)²=35；

故选C．

[点评]掌握好增长率问题的一般规律，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．

9．关于x的方程x²+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　 )

A．k＞﹣1　 B．k＞﹣1且k≠0　　 C．k＜1 D．k＜1且k≠0

[考点]根的判别式．

[分析]关于x的方程x²+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b²﹣4ac＞0．即可得到关于k的不等式，从而求得k的范围．

[解答]解：∵a=1，b=2，c=﹣k，

∴△=b²﹣4ac=2²+4×1×k=4+4k＞0，

解得：k＞﹣1．

故选A．

[点评]此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．

10．在平面直角坐标系中，已知点E(﹣4，2)，F(﹣2，﹣2)，以原点O为位似中心，相似比为2：1，把三角形EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是(　　 )

A．(﹣2，1)　　 B．(﹣8，4)　　 C．(﹣8，4)或(8，﹣4)　　 D．(﹣2，1)或(2，﹣1)

[考点]位似变换；坐标与图形性质．

[分析]直接利用位似图形的性质画出符合题意的图形，进而得出答案．

[解答]解：如图所示：点E的对应点E′的坐标是：(﹣2，1)或(2，﹣1)．

故选：D．

[点评]此题主要考查了位似变换，根据题意得出所有符合题意的图形是解题关键．

11．已知，则=．

[考点]比例的性质．

[分析]根据比例的性质求出a=b，c=d，再代入求出即可．

[解答]解：∵==，

∴a=b，c=d，

∴==．

故答案为：．

[点评]本题考查了比例的性质的应用，能根据比例的性质求出a=b和c=d是解此题的关键．

12．如果x=1是一元二次方程x²+bx﹣3=0的一个根，则b=2．

[考点]一元二次方程的解．

[分析]把x=1代入x²+bx﹣3=0得到关于b的一元一次方程，通过解方程求得b的值即可．

[解答]解：把x=1代入x²+bx﹣3=0，得

1+b﹣3=0，

解得b=2．

故答案是：2．

[点评]此题主要考查了方程解的定义．将方程的根代入方程即可得到关于b的一元一次方程，解此一元一次方程即可．

13．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为5．

[考点]菱形的性质．

[分析]首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC=6，BD=8，即可得AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，然后利用勾股定理求得这个菱形的边长．

[解答]解：∵菱形ABCD中，AC=6，BD=8，

∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，

∴AB==5．

即这个菱形的边长为：5．

故答案为：5．

[点评]此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的对角线互相平分且垂直．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(﹣3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是(5，4)．

[考点]菱形的性质；坐标与图形性质．

[专题]几何图形问题．

[分析]利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．

[解答]解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(﹣3，0)，(2，0)，点D在y轴上，

∴AB=5，

∴DO=4，

∴点C的坐标是：(5，4)．

故答案为：(5，4)．

[点评]此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB边上(不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是2.4．

[考点]矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．

[分析]连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．

[解答]解：如图，连接CP．

∵∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB===5，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，

∴四边形CFPE是矩形，

∴EF=CP，

由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，

此时，S_△ABC=BC•AC=AB•CP，

即×4×3=×5•CP，

解得CP=2.4．

故答案为：2.4．

[点评]本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．

16．解下列方程：

(1)x²+4x+1=0

(2)x(x﹣4)﹣2(x﹣4)=0．

[考点]解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．

[分析](1)求出b²﹣4ac的值，代入公式求出即可．

(2)通过提取公因式(x﹣4)对等式的左边进行因式分解．

[解答]解：(1)∵a=1，b=4，c=1，

∴△=4²﹣4×1×1=16﹣4=12＞0，

∴x=，

∴x₁=﹣2+，x₂=﹣2﹣．

(2)由原方程，得

(x﹣4)(x﹣2)=0，

则x﹣4=0或x﹣2=0，

解得x₁=4，x₂=2．

[点评]本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

17．近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两相交公路内(如图所示)．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定P点的位置．

[考点]作图—应用与设计作图．

[分析]画出两条公路夹角的平分线和张、李两村之间线段的垂直平分线，交点即是所求．

[解答]解：(1)画出角平分线；

(2)作出垂直平分线．

交点P即满足条件．

[点评]此题主要考查角平分线、垂直平分线的作法在实际中的应用．

18．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD．

(1)求证：△ABF∽△CEB；

(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．

[考点]相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平行四边形的性质．

[专题]几何综合题．

[分析](1)要证△ABF∽△CEB，需找出两组对应角相等；已知了平行四边形的对角相等，再利用AB∥CD，可得一对内错角相等，则可证．

(2)由于△DEF∽△EBC，可根据两三角形的相似比，求出△EBC的面积，也就求出了四边形BCDF的面积．同理可根据△DEF∽△AFB，求出△AFB的面积．由此可求出▱ABCD的面积．

[解答](1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠A=∠C，AB∥CD

∴∠ABF=∠CEB

∴△ABF∽△CEB

(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，AB平行且等于CD

∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF

∵DE=CD

∴，

∵S_△DEF=2

S_△CEB=18，S_△ABF=8，

∴S_{四边形BCDF}=S_△BCE﹣S_△DEF=16

∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形BCDF}+S_△ABF=16+8=24．

[点评]本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．

19．如图，是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是红桃1、2、3和方块1、2、3，将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张，求摸出的两张牌的牌面数字之和小于5的概率．(要求用列表或树状图表示)

[考点]列表法与树状图法．

[专题]计算题．

[分析]先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出摸出的两张牌的牌面数字之和小于5的结果数，然后根据概率公式计算．

[解答]解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中摸出的两张牌的牌面数字之和小于5的结果数为6，

所以摸出的两张牌的牌面数字之和小于5的概率==．

[点评]本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

20．某商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价1元出售，其销售量就减少20件，且在60元基础上提价不能超过15元．问提价多少元才能获利12000元？

[考点]一元二次方程的应用．

[专题]销售问题．

[分析]设提价x元才能获利12000元，根据每件升价1元出售，其销售量就减少20件，现在要获利1200元，可列方程求解．

[解答]解：设提价x元才能获利12000元，依题意有

(60﹣50+x)(800﹣20x)=12000，

整理得：x²﹣30x+200=0，

(x﹣10)(x﹣20)=0，

解得x₁=10，x₂=20(不合题意舍去)．

答：提价10元才能获利12000元．

[点评]本题考查了一元二次方程的应用和理解题意的能力，关键是根据每件升价1元出售，其销售量就减少20件，找出价格变化后，卖的数量的关系．

21．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：

如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m(点A、E、C在同一直线上)．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．(结果精确到0.1m)

[考点]相似三角形的应用．

[专题]应用题；转化思想．

[分析]此题属于实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；解题时要注意构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题．

[解答]解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，

∵AB∥CD，DG⊥AB，AB⊥AC，

∴四边形ACDG是矩形，

∴EH=AG=CD=1.2，DH=CE=0.8，DG=CA=30，

∵EF∥AB，

∴，

由题意，知FH=EF﹣EH=1.7﹣1.2=0.5，

∴，解得，BG=18.75，

∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0．

∴楼高AB约为20.0米．

[点评]本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．

22．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．

(1)求证：BD=BE；

(2)若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．

[考点]矩形的性质．

[专题]证明题．

[分析](1)根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证；

(2)根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后利用勾股定理求出BC的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．

[解答](1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AB∥CD，

又∵BE∥AC，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴AC=BE，

∴BD=BE；

(2)解：∵在矩形ABCD中，BO=4，

∴BD=2BO=2×4=8，

∵∠DBC=30°，

∴CD=BD=×8=4，

∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8，

在Rt△BCD中，BC===4，

∴四边形ABED的面积=(4+8)×4=24．

[点评]本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．

23．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：

(1)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

(2)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式．

[考点]相似形综合题．

[分析](1)先根据OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，用t表示出OP、OQ的长，再根据△POQ∽△AOB时，=，△POQ∽△BOA时，=，分别得出 =即=，最后求解即可；

(2)根据S_△POQ=•PO•OQ，再把OQ=6﹣t，OP=t代入整理即可．

[解答]解：(1)∵OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动，

∴OQ=(6﹣t)cm，

∵点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，

∴OP=t(cm)，

若△POQ∽△AOB时，=，

即 =，

整理得：12﹣2t=t，

解得：t=4，

则当t=4时，△POQ与△AOB相似；

若△POQ∽△BOA时，=，

即=，

解得：t=2，

则当t=2时，△POQ与△BOA相似；

综上所述：当t=4s或2s时，△POQ与△AOB相似；

(2)∵S_△POQ=•PO•OQ=•t•(6﹣t)=﹣t²+3t，

∴y=﹣t²+3t (0≤t≤6)．

[点评]本题主要考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定和性质、直角三角形的面积等，注意分两种情况讨论．

24．情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC相等的线段是AD，∠CAC′=90°．

问题探究

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

[考点]相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质．

[专题]几何综合题；压轴题．

[分析]①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D，即可解题；

②易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；

③过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据全等三角形的判定和性质即可解题．

[解答]解：①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，

∴∠CAC′=180°﹣∠C′AD﹣∠CAB=90°；

故答案为：AD，90．

②FQ=EP，

理由如下：

∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，

∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，

又∵AF=AC，

∴△AFQ≌△CAG，

∴FQ=AG，

同理EP=AG，

∴FQ=EP．

③HE=HF．

理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．

∵四边形ABME是矩形，

∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°，

又AG⊥BC，

∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP．

∵∠AGB=∠EPA=90°，

∴△ABG∽△EAP，

∴AG：EP=AB：EA．

同理△ACG∽△FAQ，

∴AG：FQ=AC：FA．

∵AB=k•AE，AC=k•AF，

∴AB：EA=AC：FA=k，

∴AG：EP=AG：FQ．

∴EP=FQ．

又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH，

∴Rt△EPH≌Rt△FQH(AAS)．

∴HE=HF．

[点评]本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△AFQ≌△CAG是解题的关键．