1. 已知函数,其中为自然对数底数.
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性,并写出相应的单调区间;
解:(1)当时,,,, ………………2分
∴函数在点处的切线方程为,
即. ……………………………………………………………………4分
(2)∵,
①当时,,函数在上单调递增;………………………………6分
②当时,由得,
∴时,,单调递减;时,,单调递增.
综上,当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为. ……………………………………9分
2. 已知函数,.设.
(1)若函数在处的切线过点,求的值;
(2)当时,若函数在上没有零点,求的取值范围;
解:(1)由题意,得,
所以函数在处的切线斜率, ……………2分
又,所以函数在处的切线方程,
将点代入,得. ……………4分
(2)方法一:当,可得,因为,所以,
①当时,,函数在上单调递增,而,
所以只需,解得,从而. ……………6分
②当时,由,解得,
当时,,单调递减;当时,,单调递增.
所以函数在上有最小值为,
令,解得,所以.
综上所述,. ……………10分
3. 已知函数。
(1)若f(x)的图象与g(x)的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上,且在该点处两条曲线的切线互相垂直,求b和c的值。
(2)若a=c=1,b=0,试比较f(x)与g(x)的大小,并说明理由;
⑴解: ,,, ,,, ……2分
依题意:,所以; ……4分
⑵解: ,时,, ……5分
①时,,,即
②时,,,即
③时,令,则.
设,则,
当时, 单调递减;当时, 单调递增.
所以当时, 取得极小值, 且极小值为
即恒成立,故在上单调递增,又,
因此,当时, ,即. ……9分
综上,当时,;当时, ;当时, . ……10分
4. 已知函数,.
(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
(2) 若直线是函数图象的切线,求的最小值;
解:(1),则,
∵在上单调递增,∴对,都有,
即对,都有,∵,∴,
故实数的取值范围是. ………………4分
(2) 设切点,则切线方程为,
即,亦即,
令,由题意得,……7分
令,则,
当时 ,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增,
∴,故的最小值为. ………………10分