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2.如图,运河边上移栽了两棵老树AB、CD,它们相距20m,分别自两树上高出地面3m、4m的A、C处,向两侧地面上的点E和D、B和F处用绳索拉紧,以固定老树,那么绳索AD与BC的交点P离地面的高度为多少米?
答案:
一、基础练习
1.4.4
2.3 若20与50对应,则另两边分别为24cm、32cm;若20与60对应,则另两边分别为cm;若20与80对应,则另两边分别为cm、15cm.
3.因△ABC为Rt△,B与C重合,折痕DE为BC的中垂线交BC于D、AC于E、
Rt△CDE∽Rt△CAB,.
4.△ABP、△DPA、△PCD两两相似,即∠APD=90°,
即以AD为直径的圆与BC至少有一个交点P,所以a≥2b,选D.
5.设正方形DEFG的边长为x,由FG∥BC,
所以△AGF∽△ABC,设AM交GF于N,(cm).
6.8m 7.14
8.设MN与AC交于点O,MN垂直平分AC,AD=9,AB=12,AC==15,
△CON∽△CDA,.
9.设FG=xcm,由△AFD∽△GAB和△AED∽△GEB,
得.
10.由DE∥AC,△BDE∽△BAC,,CE=4,BE=6,DE为Rt△CDB斜边BC上的高,△DEB∽△CED,DE2=CE.BE=24,BD2=24+36=60,BD=2,AD=.
二、整合练习
1.连结BD并延长交A′D′于点E,交C′D′的延长线于点F,
将△DA′E绕点E旋转至△FD′E位置,则△BAD∽△FC′B,
且相似比为1:3.
2.过P作PH⊥BD于H,由于AB⊥BD,CD⊥BD,
所以AB∥CD,PH∥CD,△ABP∽△DCP,BP:PC=AB:CD=3:4,
BP:BC=3:7,又△BPH∽△BCD,=,
所以PH=×4=,即点P离地面的高度为m.
(这里AB、CD相距20m为多余条件).
3.真命题为(1)、(3).
理由是(1)若△ABC∽△A′B′C′,
它们的相似比为k,(k≠0)则=k,
△ABC的周长为AB+BC+CA,△A′B′C′的周长为A′B+B′C′+C′A′,
又AB=A′B′k,BC=B′C′k,CA=C′A′k.由周长相等,得k=1,
所以AB=A′B′,BC=B′C′,CA=C′A′,
所以△ABC≌△A′B′C′.
(2)是假命题,可举反例 若△ABC∽△A′B′C′,
设AB=1,BC=2,CA=,A′B′=,B′C′=2,C′A′=2,
虽然有两组边长相等,但它们显然不全等.
(3)不等边△ABC中,不妨设a>b>c,
若△A′B′C′与△ABC相似,则a、b、c的对应边只能为、、,
又,即==,a=b=c与△ABC是不等边三角形矛盾,
所以以、、构成的△A′B′C′一定不能与△ABC相似.
(如果△ABC的三边长分别为a、b、c,
则可让、、一定能构成△A′B′C′由
可证 即)