2.三侧棱两两垂直的三棱锥补形成长方体 　 [例2]已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则正三棱锥P－ABC球心到截面ABC的距离为________． [解析]正三棱锥补成正方体如图，可知球心O为体对角线PD的中点，且PO＝，又P到平面ABC的距离为h，则××(2)2.h＝××2×2×2.∴h＝. [评注] 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体;如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝＝(l为长方体的体对角线长)． [变式1]利用四个面为直角三角形的三棱锥补成长方体求外接球的面积　 在三棱锥中，底面，，若，则三棱锥外接球的表面积为_______．

1..[解析]将三棱锥中补成如图所示的长方体，则三棱锥的的外接球即如图所示的长方体的外接球，球的直径等于长方体的对角线的长，∴三棱锥外接球的表面积为. [变式2]利用三侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体求四面体的体积　 如图所示，在四面体中，两两垂直，且，是的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则四面体的体积　　　 .

2. [解析]依题意把视为长方体一角的三条棱，将四面体补成长方体.如图，连结，则就是异面直线与所成角，设,则，由余弦定理求得..

1.8 [解析] 如图, 把四面体S – ABC补形为长方体ADBE – GSHC, 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有a2 + b2 = (2)2， b2 + c2 = ()2，c2 + a2 = 52，联立以上三式并解之得： a = 4，b = 2，c = 3. 故VS – ABC = V长方体 – 4VS – ABD = abc – 4 abc = 8. 　 [变式2]四面体补成正方体等积法求点到面的距离　 　 已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．

2. [解析]正三棱锥补成正方体如图，可知球心O为体对角线PD的中点，且PO＝，又P到平面ABC的距离为h，则××(2)2.h＝××2×2×2.∴h＝. [变式]由三视图构建长方体探究变量关系借助于均值不等式求最值 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图、俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值是________．

1.4 [解析] 构造一个体对角线为且一条面对角线为的长方体，设其长、宽、高分别为、、，则，相加得，又， ，．