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8.设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:
t |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
y |
12 |
15.1 |
12.1 |
9.1 |
11.9 |
14.9 |
11.9 |
8.9 |
12.1 |
经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωx+φ)的图象.下面
的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
A.y=12+3sint,t∈[0,24] B.y=12+3sin(t+π),t∈[0,24]
C.y=12+3sint,t∈[0,24] D.y=12+3sin(t+),t∈[0,24]
第Ⅱ卷(非选择题,共60分)
(3)若函数f(sinα)的最大值为8,求b,c的值.
参考答案
1.B sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sinα=,且α在第二象限,所以cosα= -,则tan==3.
2.D因为2RsinAcosA=2RsinBcosB,则sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,可得A=B或A+B=,故选D.
点评:由三角形中恒等式判断三角形的形状,一般有两种思路:一是将角化边,用边的关系进行判断;二是将边化角,用角的关系来判断.应充分运用三角形中的内角和定理、正余弦定理进行边角互化.
3.C 因为y=lg|x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则y=lg|x|不是区间(-1,1)的连续函数,又y=2x显然不是偶函数,只有y=|tanx|和y=sin(x+)两个条件都满足,故选C.
点评:此题相当于多元选择题,应注意将每个命题的真假判断准确,才能选出正确答案. 4.A 由y=sin2xy=sin(2x+).故选A.
5.B 法1:y=sinx|cotx|(0<x<π)= 故选B.
法2:0<x<π,所以y=sinx|cotx|≥0,选B.
6.B 由sin(2x+)>0且2kπ<2x+<2kπ+ (k∈Z),解得x∈(kπ-,kπ+)(k∈Z),选B.
7.C ∵当0<x<1时,∴4-x∈(3,4),f(x)=f(-x)=f(4-x)=(4-x)-2=2-x,此时f(x)为减函
数,检验选择支,由于0<cos1<sin1<1,只有C正确.
点评:此题综合考查函数奇偶性、周期性、单调性、三角函数的性质、不等式的知识,除上述方法外,还可应用f(x)的图象来判断也较方便.
8.A 由表中数据可得ymax=15.1,ymin=8.9,故k==12.
T=3-0,∴T=12 又T=,∴ω=,故选A.
点评:本题考查学生运用三角函数图象与性质来解决实际问题的能力,学生应准确理解三角函数y=k+Asin(ωx+φ)的图象和性质.
9.1解:==
=
点评:注意灵活使用同角三角函数的基本关系式的变形式,即“1”的妙用,这也是三角函数式化简过程中常用的技巧之一,另外,注意及时使用诱导公式和三角函数图象和性质:当α∈[0,]时,sinα<cosα.
10.解:y=cos4x-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)=cos2x-sin2x=cos2x
当2x∈[2kπ-π,2kπ],即x∈[kπ-,kπ](k∈Z)时y=cos4x-sin4x递增,所以其增区间为[kπ-,kπ](k∈Z).
11.解:由已知得,2sin2β= -3sin2α+2sinα
∵sin2β∈[0,1],∴0≤-3sin2α+2sinα≤2,解得0≤sinα≤.
∵cos2α+cos2β=2-sin2α-sin2β
=2-sin2α-=sin2α-sinα+2= (sinα-1)2+,
∵0≤sinα≤ ∴cos2α+cos2β∈[,2]
点评:求函数的值域、单调区间、奇偶性、周期性、解不等式等都要切记函数的生命线:定义域.否则,错误将会“趁虚而入”,若在本例中不注意深挖定义域:0≤sinα≤,则会得到错误结果:cos2α+cos2β∈[,].
12.解:(1)∵T1=2π,T2=π,则T1+T2=3π;
(2)当φ=时,在区间(-,)上,x+φ=x+∈(0,),y1为增函数;
在区间(-,)上,2x+∈(0,),y2也为增函数;
(3)显然y1的最大值为2,y2的最大值为0.5,y1+y2的最大值为2.5;
(4)当φ=时,y1=2cosx为偶函数,y2= -cos(2x+)(x∈R)为非奇非偶函数,y1+y2为非奇非偶函数.
由上可知正确命题的序号是(1),(2),(3).
13.解:原式==
==.
点评:知角求值问题中应充分利用三角恒等变形技巧如本题中常值的代换、三角公式的逆用及变形用、设辅助角进行变形等,这些技巧往往要结合使用.
14.解:由sin(+2α).sin(-2α)=sin(+2α).cos(+2α)=sin(+4α)=cos4α=,
则cos4α=.又α∈(,),所以α=.
于是2sin2α+tanα-cotα-1= -cos2α+=-cos2α+= -(cos2α+2cot2α)=-(cos+2cot)= -(-2)=.
点评:三角函数中的条件求值问题,一般应将条件和所求结果式子化简,并注意将所求的角或三角函数用已知的角或三角函数表示出.
15.解:(1)由f(0)=,得2a-=,∴2a=,则a=.
由f()=,得+-=,∴b=1,
∴f(x) =cos2x+sinxcosx -
=cos2x+sin2x=sin(2x+).
∴函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由+2kπ≤2x+≤+2kπ,得+kπ≤x≤π+kπ,
∴f(x)的单调递减区间是[+kπ,π+kπ](k∈Z).
(3)∵f(x)=sin2(x+),∴奇函数y=sin2x的图象左移即得到f(x)的图象,故函数f(x)的图象右移后对应的函数成为奇函数.
点评:本题综合考查三角函数恒等变形的技巧、三角函数单调性的求法、周期的求法、三角函数图象的变换、待定系数法等有关知识.用待定系数法准确a、b的值并化简求出f(x)=sin(2x+)是解决本题的关键.
16.解(1)∵sinα∈[-1,1],2+cosβ∈[1,3],
又f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≥0,f(1)≤0,即f(1)=0恒成立.
∴1+b+c=0,即b+c= -1.
(2)f(3)≤0,∴9+3b+c≤0,∴9+3(-1-c)+c≤0,∴c≥3.
(3)由(1)、(2)可知b=-1-c≤-4,∴f(x)在[-1,1]上为减函数,
∴8=f(-1)=1-b+c ①, 又b+c= -1 ②,
由①,②可得 b= -4,c=3.
点评:赋值法在解决有关恒成立问题时经常用到,利用函数的单调性往往能使问题得以顺利解决.